Шпаргалка: формулы математики 5–6 класса

1. Числа, действия и порядок вычислений

Формулы часто кажутся сложными, когда в задаче смешаны скобки, дроби и несколько действий. Эта шпаргалка поможет быстро восстановить правило, проверить решение и спокойнее готовиться к самостоятельной работе. Начинай с порядка действий: сначала скобки, затем умножение и деление слева направо, после этого сложение и вычитание.

a + 0 = a
a · 1 = a
a · 0 = 0
a − b = a + (−b)
a ÷ b = a · 1/b, b ≠ 0

Например, вычислим: 18 − 3 · (4 + 2). Сначала скобки: 4 + 2 = 6. Затем умножение: 3 · 6 = 18. Последним действием получаем 18 − 18 = 0. Если раскрываешь скобки перед умножением, обязательно сохрани знак каждого слагаемого.

Типичная ошибка — считать выражение строго слева направо. Ещё одна ловушка — забывать, что минус перед скобками меняет знаки внутри: −(a − b) = −a + b. Полезно проверять ответ обратным действием и при необходимости решать похожие примеры в личном кабинете.

2. Дроби, десятичные числа и проценты

У дроби числитель показывает взятую часть, а знаменатель — на сколько равных частей разделили целое. Перед сложением и вычитанием дробей найди общий знаменатель. При умножении перемножай числители и знаменатели, а при делении умножай первую дробь на перевёрнутую вторую.

a/b + c/b = (a + c)/b
a/b · c/d = ac/bd
a/b ÷ c/d = a/b · d/c
p% = p/100

Пример: ⅔ + ¼. Общий знаменатель 12: ⅔ = 8/12, ¼ = 3/12. Значит, 8/12 + 3/12 = 11/12. Для процента от числа используй правило: 20% от 150 = 150 · 20 ÷ 100 = 30. Десятичную дробь удобно переводить в обычную через разрядную единицу.

Частая ошибка — складывать знаменатели: ⅓ + ⅓ ≠ 2/6, а 2/3. При сокращении дели числитель и знаменатель на одно и то же число. Для дополнительной тренировки можно посмотреть базовые приёмы работы с дробями.

3. Степени, корни и формулы сокращённого умножения

Степень — это короткая запись повторного умножения. В записи a² число a называют основанием, а 2 — показателем. В 5–6 классе важно уверенно считать квадраты небольших чисел и понимать связь квадрата с площадью. Корень √a — число, квадрат которого равен a.

a² = a · a
a³ = a · a · a
√a · √a = a
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Разберём пример: (x + 3)². По формуле получаем x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9. Если x = 2, значение исходного выражения равно 25, и результат формулы тоже даёт 4 + 12 + 9 = 25. Значит, преобразование выполнено верно.

Типичная ошибка — писать (a + b)² = a² + b² и терять средний член 2ab. Нельзя также считать √25 равным ±5: арифметический квадратный корень равен 5. Записывай каждый переход, а не только итог.

4. Уравнения и зависимости величин

Решить уравнение — значит найти такое значение неизвестного, при котором левая и правая части равны. Главное свойство: к обеим частям можно прибавить, вычесть, умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Удобно оставлять неизвестное слева, а числа переносить вправо.

x + a = b → x = b − a
x − a = b → x = b + a
ax = b → x = b ÷ a, a ≠ 0
x ÷ a = b → x = ab

Полный пример: 3x + 7 = 25. Вычтем 7 из обеих частей: 3x = 18. Разделим обе части на 3: x = 6. Проверка: 3 · 6 + 7 = 18 + 7 = 25. Ответ подходит. В задачах на скорость, время и расстояние используй таблицу: расстояние = скорость · время.

Ошибка возникает, когда знак меняют без объяснения: перенос — это сокращённая запись прибавления противоположного числа. Не дели на неизвестное, пока не уверен, что оно не равно нулю. Если уравнения пока путаются, открой бесплатную практику с пошаговой проверкой.

5. Геометрические формулы и пропорции

В геометрии сначала выпиши, что известно, выбери единицы измерения и только потом подставляй числа. Периметр — длина границы фигуры, площадь — размер её поверхности. Обозначения лучше подписывать прямо на рисунке: так меньше риск перепутать сторону, высоту и основание.

Пример: прямоугольник со сторонами 8 см и 5 см имеет P = 2 · (8 + 5) = 26 см, S = 8 · 5 = 40 см². Обрати внимание: периметр измеряется в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах.

Типичная ошибка — использовать формулу площади вместо периметра. Не складывай величины разных единиц без перевода. Пропорции можно проверять крестным умножением: a/b = c/d → ad = bc.

6. Что запомнить перед контрольной

Сначала определи тип задания: вычисление, дроби, уравнение, процент или геометрия. Затем выпиши подходящую формулу, подставь данные и проверь единицы. В вычислениях соблюдай порядок действий, в уравнениях выполняй одинаковые операции с обеими частями, а в геометрии различай длину и площадь.

Путь = скорость · время
Процент от числа = число · процент ÷ 100
Среднее арифметическое = сумма значений ÷ их количество
1 м = 100 см
1 м² = 10 000 см²

Пример проверки: среднее чисел 4, 7 и 10 равно (4 + 7 + 10) ÷ 3 = 7. Если результат оказался меньше 4 или больше 10, вычисление неверно. После решения перечитай условие и запиши ответ с единицами.

Не пытайся запомнить всё механически: реши по одному примеру каждого типа. Закрепи тему так: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, сравни ход решения с подсказками и отметь правило, которое ещё требует повторения.