Просто УрокЗадание 8 ЕГЭ по математике (база): как решать
Задание 8 в базовом ЕГЭ — вычисление тригонометрических выражений. Многие пугаются одних только букв «sin» и «cos», но весь номер держится на трёх вещах: таблице значений, основном тождестве и формулах приведения. Разбираем каждую с примерами по шагам.
Что это за задание
В этом номере нужно вычислить значение выражения с синусом, косинусом, тангенсом или котангенсом. Сюжетов нет — есть набор значений и свойств, которые нужно применить в правильном порядке. Ответом служит целое число или конечная десятичная дробь.
Хорошая новость: тригонометрия в базе устроена щадяще. Углы берутся из маленького набора — 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и соседние с ними, а выражения собраны так, что корни в итоге сокращаются. Достаточно знать таблицу и два-три тождества.
Схема решения всегда одна: определить, что за функция и какой угол, найти значение или свести к нужному по свойству, аккуратно посчитать.
Таблица значений: что знать наизусть
Минимальный набор, который выручает почти в любой задаче:
\( \sin 30^\circ = 0,5; \sin 45^\circ = \sqrt{2}/2; \sin 60^\circ = \sqrt{3}/2 \)
\( \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2; \cos 45^\circ = \sqrt{2}/2; \cos 60^\circ = 0,5 \)
\( \tg 30^\circ = \sqrt{3}/3; \tg 45^\circ = 1; \tg 60^\circ = \sqrt{3} \)
Заметить закономерность легко: значения синуса и косинуса зеркальны — sin 30° = cos 60°, sin 60° = cos 30°. И ещё: корни идут по нарастанию — у 30° меньше, у 45° среднее, у 60° больше.
Пример: найди значение выражения 12√3 · cos 30°.
- По таблице cos 30° = √3/2.
- Подставляем: 12√3 · √3/2.
- Перемножаем корни: √3 · √3 = 3, тогда 12 · 3 / 2 = 18.
- Ответ: 18.
Точно так же 24√2 · sin 45° = 24√2 · √2/2 = 24. Не переводите корни в десятичные дроби заранее: √2/2 · √2 сокращается ровно, а вот 0,707... · 0,707... — уже нет.
Основное тригонометрическое тождество
Главное свойство всей тригонометрии связывает синус и косинус одного угла:
\( \sin ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1 \)
Пример: известно, что sin α = 0,6, а α — острый угол. Найди cos α.
- Выражаем косинус: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64.
- Извлекаем корень: cos α = √0,64 = 0,8.
- Угол острый, значит косинус положителен. Ответ: 0,8.
Тангенс и котангенс — просто отношение синуса и косинуса:
\( \tg \alpha = \sin \dfrac{\alpha}{\cos} \alpha ; \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 \)
Отсюда типовой приём: выражение 5 · tg α · ctg α равно 5, потому что тангенс и котангенс одного угла взаимно уничтожаются. И помни определение: tg α = sin α / cos α — если в условии даны синус и косинус, тангенс находится делением.
Не знаешь, с чего начать, — спиши всё в квадраты и дроби. Возведи данное значение в квадрат, подставь в тождество и вычисляй пошагово. Квадраты всегда проще корней, а сам корень извлекается в самом конце.
Формулы приведения и знаки
Иногда в выражении стоит угол больше 90° — например, 120° или 150°. Здесь помогает правило: угол раскладывают через 180° или 90° и смотрят, что происходит с функцией.
\( \sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha ; \cos (180^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha \)
Пример: найди значение выражения 20 · sin 150°.
- Раскладываем угол: 150° = 180° − 30°.
- По формуле приведения sin(180° − 30°) = sin 30° — синус остаётся синусом.
- По таблице sin 30° = 0,5, значит 20 · 0,5 = 10.
- Ответ: 10.
Знак подскажет четверть: в первой четверти все функции положительны, во второй (от 90° до 180°) синус положителен, а косинус отрицателен. Проверка: cos 120° = −cos 60° = −0,5 — минус сохраняется, потому что 120° лежит во второй четверти.
Полный набор правил с мнемоникой — в статье про тригонометрию и базовые формулы, там же есть круг-шпаргалка.
Типичные ошибки
- Путал sin 30° и cos 30°: у синуса на 30° — 0,5, у косинуса — √3/2. Ориентир: синус маленького угла маленький.
- Терял минус при приведении: cos 120° = −0,5, а не 0,5. Всегда проверяй четверть.
- Переводил корни в десятичные дроби в начале решения — и получал бесконечные хвосты. Сокращай сначала, округляй в самом конце.
- Забывал, что tg α = sin α / cos α, и подбирал значение тангенса наугад.
- Извлекал корень с обоими знаками: cos²α = 0,64 даёт cos α = 0,8 для острого угла, а не ±0,8.
Ответ в этом номере — число. Перед записью убедись, что не оставил в нём корней: если корень не сократился, где-то пропущено свойство.
Начинай решение с вопроса: «какой у меня угол и в какой он четверти?» Это сразу даёт и значение из таблицы, и знак. Страшные коэффициенты вроде 12√3 подобраны так, чтобы корень сократился — не бойся их.
Потренируй задание 8 ЕГЭ
В тренажёре ЕГЭ выбери базовый уровень и нужный номер: короткая теория, серия задач от простых до экзаменационных и мгновенная проверка. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Тригонометрия кажется трудной ровно до первого десятка решённых задач: набор углов маленький, и всё быстро запоминается. Рядом разобраны задание 7 и задание 9 базового ЕГЭ.
Дальше по теме можно двигаться к уравнениям — они собраны в статье про тригонометрические уравнения, а если нужен общий маршрут, посмотри план подготовки к ЕГЭ по математике. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к ЕГЭ — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Какие углы нужно знать наизусть?
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — этого хватает почти для всех задач. Плюс перевод радиан в градусы: π — это 180°, значит π/6 — это 30°.
Как не путать синус и косинус в таблице?
Синус растёт от 0 до 1, когда угол растёт от 0° до 90°. Поэтому у маленьких углов синус маленький: sin 30° = 0,5, а cos 30° = √3/2. Значения просто зеркальны: sin 30° = cos 60°.
Дан только синус, а нужен косинус. Что делать?
Основное тождество sin²α + cos²α = 1 выражает косинус: cos α = √(1 − sin²α). Если в задаче угол острый, знак ответа — плюс.
Нужны ли все формулы приведения?
Для базового ЕГЭ достаточно пары: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α и правило знаков по четверти. Больше половины задач этого номера решаются таблицей и тождеством.