Математика 5 класс: задачи на движение и площади

Как читать задачи на движение

Задачи на движение часто пугают не вычислениями, а длинным условием: легко перепутать скорость, время и расстояние. Разберём понятный алгоритм, чтобы ты мог уверенно решать такие задачи и проверять ответ.

В любой задаче сначала найди три величины: скорость, время и расстояние. Скорость показывает, сколько единиц расстояния проходит объект за одну единицу времени. Расстояние обозначают буквой s, скорость — v, время — t.

Расстояние: s = v × t
Скорость: v = s : t
Время: t = s : v

Например, велосипедист едет со скоростью 12 км/ч 3 часа. Его путь равен 12 × 3 = 36 км. Если единицы разные, их нужно привести к одному виду: 2 часа и 30 минут — это 2,5 часа, а 90 минут — 1,5 часа.

Сначала выпиши данные, затем выбери формулу и только после этого считай. Такой порядок помогает не подставить числа в случайное выражение.

Решение задачи по шагам

Рассмотрим полный пример из школьной практики. Из двух посёлков навстречу друг другу одновременно выехали автобус и велосипедист. Расстояние между посёлками равно 96 км. Скорость автобуса — 48 км/ч, а скорость велосипедиста — 16 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Если объекты движутся навстречу, их скорости складываются. За один час расстояние между ними уменьшается на 48 + 16 = 64 км. Значит, всё расстояние можно разделить на это общее уменьшение.

1. Находим скорость сближения:
\( 48 + 16 = 64 \text{\text{км}/\text{ч}} \)
2. Находим время встречи:
\( 96 : 64 = 1,5 \text{ч} \)
3. Переводим в часы и минуты:
\( 1,5 \text{ч} = 1 \text{ч} 30 \text{мин} \)
Ответ: велосипедист и автобус встретятся через 1 ч 30 мин.

Проверка: за 1,5 часа автобус проедет 48 × 1,5 = 72 км, велосипедист — 16 × 1,5 = 24 км. Сумма 72 + 24 = 96 км, значит, ответ подходит.

Движение в одну сторону и таблица данных

Когда два объекта движутся в одном направлении, один обычно догоняет другой. Тогда скорость сближения равна разности скоростей. Пусть самокат едет со скоростью 10 км/ч, а впереди него велосипедист — со скоростью 6 км/ч. Если расстояние между ними 8 км, самокат догонит велосипедиста за 8 : (10 − 6) = 2 часа.

Удобно оформлять условие в таблице. Так ты видишь, какая величина известна, а какую нужно найти.

Объект	Скорость	Время	Расстояние
Самокат	10 км/ч	2 ч	20 км
Велосипедист	6 км/ч	2 ч	12 км

Разница расстояний равна 20 − 12 = 8 км — это начальный отрыв. Если один объект стоит, его скорость равна нулю. Если движение начинается не одновременно, сначала выясни, какое расстояние успел пройти первый объект.

Бесплатная практика в личном кабинете «Просто Урок» помогает отдельно потренировать встречное движение и движение вдогонку: открыть кабинет.

Как находить площадь фигуры

Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Её измеряют в квадратных единицах: см², м², км². Не путай площадь с периметром: периметр — это длина границы, а площадь — размер внутренней части.

Для прямоугольника нужны длина и ширина. Для квадрата все стороны равны, поэтому достаточно узнать одну сторону. Важно, чтобы длина и ширина были выражены в одинаковых единицах.

Прямоугольник: S = a × b
Квадрат: S = a²
Периметр прямоугольника: P = 2 × (a + b)
Периметр квадрата: P = 4 × a

Пример: клумба имеет длину 7 м и ширину 3 м. Её площадь равна 7 × 3 = 21 м², а периметр — 2 × (7 + 3) = 20 м. Если фигура составлена из нескольких прямоугольников, раздели её на части, найди площади частей и сложи их.

Тренировка и проверка ответа

Попробуй решить задания без подсказки, а затем сверь рассуждение. 1) Пешеход идёт со скоростью 5 км/ч 2 часа. Какое расстояние он пройдёт? 2) Два лыжника движутся навстречу со скоростями 8 км/ч и 7 км/ч. Между ними 45 км. Через сколько часов встреча? 3) Найди площадь и периметр прямоугольника со сторонами 9 см и 4 см.

\( 1) s = 5 \times 2 = 10 \text{км} \)
2) v сближения = 8 + 7 = 15 км/ч; t = 45 : 15 = 3 ч
\( 3) S = 9 \times 4 = 36 \text{\text{см}}^2; P = 2 \times (9 + 4) = 26 \text{см} \)

Проверяй не только число, но и смысл. Время не может быть отрицательным, расстояние при движении должно увеличиваться, а площадь прямоугольника с длиной 9 см не может быть меньше площади квадрата со стороной 4 см, если ширина равна 4 см. Прикидка заранее замечает многие ошибки.

После разбора можно закрепить тему короткой бесплатной практикой в кабинете «Просто Урок»: перейти к заданиям.

Что запомнить перед самостоятельной

В задачах на движение используй тройку формул: s = v × t, v = s : t, t = s : v. При встречном движении складывай скорости, при движении вдогонку находи их разность. Всегда проверяй единицы времени и расстояния.

Для площади прямоугольника умножай длину на ширину, для квадрата возводи сторону в квадрат. Площадь записывай в квадратных единицах, а периметр — в обычных. Если фигура сложная, раздели её на знакомые части.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы сразу увидеть, какие шаги уже получаются уверенно: зарегистрироваться и потренироваться.