Неравенства в 8 классе

Пойми, что показывает неравенство

Если в задаче встречаются знаки «больше» или «меньше», легко запутаться в действиях и потерять решение на последней строке. Разберись, как читать неравенства и отмечать ответ на прямой, чтобы уверенно решать задания 8 класса.

Неравенство сравнивает два выражения. Например, 3x + 2 > 11 означает: нужно найти такие значения x, при которых левая часть больше правой. В отличие от уравнения ответом обычно бывает не одно число, а целый промежуток.

Используют четыре основных знака: > — больше, < — меньше, ≥ — больше или равно, ≤ — меньше или равно. Важна граница. Запись x ≥ 4 включает число 4, а запись x > 4 — нет.

На координатной прямой открытая точка показывает, что граница не входит в ответ. Закрашенная точка означает включение границы. Стрелка направо соответствует значениям больше числа, стрелка налево — значениям меньше.

Например, x < 2 обозначают пустой точкой в 2 и лучом влево. А x ≥ −1 — закрашенной точкой в −1 и лучом вправо.

Решай линейные неравенства по алгоритму

Линейное неравенство содержит переменную только в первой степени. Оно решается почти так же, как линейное уравнение, но есть особое правило для отрицательных множителей.

Удобный алгоритм выглядит так:

1. Раскрой скобки, если они есть.
2. Перенеси слагаемые с переменной в одну сторону, числа — в другую.
3. Приведи подобные слагаемые.
4. Раздели обе части на коэффициент при переменной.
5. Если коэффициент отрицательный, поменяй знак неравенства.

5x − 7 ≤ 18
5x ≤ 25
x ≤ 5

Здесь мы разделили обе части на положительное число 5, поэтому знак сохранился. Если бы получилось −5x ≤ 25, после деления на −5 вышло бы x ≥ −5.

Проверка похожа на проверку уравнения: выбери число из найденного промежутка и подставь его. Для x ≤ 5 можно взять x = 0: 5 × 0 − 7 ≤ 18, то есть −7 ≤ 18. Условие выполняется.

Бесплатную практику по шагам можно продолжить в личном кабинете «Просто Урок»: открыть кабинет.

Не потеряй знак при преобразованиях

Главная ловушка темы — механически переносить действия из уравнений в неравенства. Прибавление или вычитание одного и того же числа знак не меняет. Умножение или деление на положительное число тоже не меняет. Но отрицательное число переворачивает сравнение.

Действие	Пример	Результат
Прибавить число	x − 3 > 4	x > 7
Умножить на положительное	2x ≤ 8	x ≤ 4
Разделить на отрицательное	−3x > 12	x < −4

Почему знак меняется? Если −3 > −5, то после умножения на −1 получаем 3 < 5. Порядок чисел на прямой перевернулся.

Ещё одна ошибка — неверно раскрывать скобки перед отрицательным множителем. В выражении −(x − 4) нужно получить −x + 4, а не −x − 4.

Разбирай двойные неравенства

Двойное неравенство объединяет два условия. Например, 2 < x ≤ 7 читается так: x больше 2 и одновременно не больше 7. Ответом становится промежуток между двумя границами.

Решать его можно сразу, выполняя одинаковые действия со всеми тремя частями:

\( -3 \le 2x + 1 < 9 \)
−4 ≤ 2x < 8
−2 ≤ x < 4

Мы вычли 1 из всех частей, а затем разделили все части на положительное число 2. Поэтому знаки не изменились. На прямой в точке −2 будет закрашенная отметка, а в точке 4 — пустая.

Если делишь двойное неравенство на отрицательное число, оба знака меняются местами:

6 > −2x ≥ −4
−3 < x ≤ 2

Иногда условие записано двумя отдельными неравенствами. Тогда нужно найти пересечение решений. Для «и» берём общую часть, для «или» объединяем все подходящие промежутки.

После решения проверь число внутри промежутка и число за его границей. Это быстро показывает, правильно ли выбрано направление.

Применяй неравенства в задачах

Неравенства часто описывают ограничения из жизни: бюджет, время, вместимость, длину или скорость. Сначала обозначь неизвестную величину и обязательно укажи её смысл. Затем переведи условие на математический язык.

Пример: у школьника есть 500 рублей. Билет стоит 180 рублей, а один перекус — 70 рублей. Сколько перекусов можно купить после билета?

x — число перекусов
\( 180 + 70x \le 500 \)
70x ≤ 320
x ≤ 32⁄7
x ≤ 4

Так как x — количество предметов, оно должно быть целым и неотрицательным. Значит, можно купить не более 4 перекусов. Проверка: 180 + 70 × 4 = 460, а 180 + 70 × 5 = 530, что больше бюджета.

Обрати внимание: дробный результат в такой задаче нельзя просто оставить. Количество билетов, тетрадей или поездок считают целыми числами. В задачах на длину или время дробь, наоборот, может быть допустимой.

В экзаменационном задании ОГЭ важно записать ответ в требуемом виде: промежутком, числом или наибольшим целым значением. Смысл переменной помогает выбрать верный вариант.

Закрепить перевод бытовых условий в неравенства удобно в бесплатном тренажёре «Просто Урок»: перейти к практике.

Запомни главное и сделай следующий шаг

Неравенство решают почти как уравнение, но знак меняется при умножении или делении на отрицательное число. Открытая точка означает, что граница не входит в ответ; закрашенная — входит. В двойном неравенстве одинаковое действие выполняют над всеми частями.

Перед ответом проверь три вещи: правильно ли раскрыты скобки, изменился ли знак при отрицательном делителе, подходит ли найденное значение по смыслу задачи. Если переменная обозначает количество предметов, учитывай целые и неотрицательные значения.

Короткая памятка:

\( a > b \to a + c > b + c \)
a > b и c > 0 → ac > bc
a > b и c < 0 → ac < bc

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы проверить себя на разных типах неравенств. Это поможет увидеть, на каком шаге появляется ошибка.