Просто УрокОГЭ: повторение геометрии 15–16
Разберём «ОГЭ: повторение геометрии 15–16» так, чтобы тема наконец встала на место: короткая теория, наглядный пример, алгоритм и ошибки, на которых теряют баллы. В конце — что запомнить и где закрепить на практике.
ОГЭ: повторение геометрии 15–16
Задания 15–16 часто отнимают баллы не потому, что в них спрятана сложная теория, а потому, что на чертеже легко потерять угол, перепутать стороны или выбрать не ту формулу. Научись видеть знакомую конструкцию за условием: распознавать треугольники, окружности и четырёхугольники, аккуратно записывать шаги и проверять ответ. В этом повторении разберём основные приёмы, типовые ошибки и один пример полностью.
В задании 15 обычно нужно применить свойства углов, параллельных прямых, треугольников или окружности. В задании 16 чаще встречается вычислительная задача: найти длину, площадь, радиус или отношение отрезков. Начинай не с формулы, а с вопроса: какие фигуры изображены и что уже известно из условия?
Полезно освежить смежные алгоритмы в материалах по заданию 13 и по заданию 14. Они помогают быстрее узнавать геометрические зависимости в первой части экзамена.
Как читать чертёж и находить связь
Сначала выпиши данные словами или короткими обозначениями. Если две прямые параллельны, ищи накрест лежащие и соответственные углы. Если в треугольнике две стороны равны, напротив них лежат равные углы. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
Знаки на рисунке важнее внешнего вида. Отрезки с одинаковыми штрихами равны, маленький квадратик означает прямой угол, дуги показывают равенство углов. Не измеряй стороны линейкой на экране: чертёж может быть условным. Используй только данные условия и свойства фигур.
| Что дано | Что проверить |
|---|---|
| Параллельные прямые | Углы при секущей, сумма односторонних углов 180° |
| Равные стороны | Равные углы напротив них |
| Прямой угол | Теорема Пифагора или сумма углов треугольника |
| Касательная к окружности | Перпендикулярность радиуса и касательной |
Если сомневаешься, подпиши на рисунке все найденные углы и длины. Визуальная схема часто сразу показывает, какую теорему применять.
Главные формулы и порядок решения
Для треугольника сумма углов равна 180°. Площадь через основание и высоту: S = ½ × a × h. Для прямоугольного треугольника действует теорема Пифагора: c² = a² + b², где c — гипотенуза. Площадь прямоугольника равна a × b, квадрата — a². Длина окружности: 2πR, площадь круга: πR².
Удобный порядок такой: 1) прочитай вопрос; 2) выпиши известные величины; 3) назови свойство или теорему; 4) составь равенство; 5) выполни вычисления; 6) проверь единицы и разумность результата. Если требуется найти угол, ответ обычно выражается в градусах. Если длину — в тех же единицах, что указаны в условии.
Перед подстановкой чисел проговори формулу словами. Так ты заметишь, если перепутал площадь и периметр или взял не ту сторону за высоту.
Дроби не превращай в десятичные без необходимости: ¾, 2⅓ и другие значения часто проще сокращать сразу. Следи за квадратными единицами: площадь записывается в см², м² или других единицах площади.
Разобранный пример задания 16
Рассмотрим типовую ситуацию. В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, AC = 6, BC = 8. Найдём площадь треугольника и длину гипотенузы AB. Здесь катеты уже известны, поэтому сначала применяем формулу площади, затем теорему Пифагора.
\( ∠C = 90^\circ \)
\( AC = 6, BC = 8 \)
\( S = ½ \times AC \times BC = ½ \times 6 \times 8 = 24 \)
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( AB = \sqrt{1}00 = 10 \)
Ответ: S = 24, AB = 10
Обрати внимание на логику: катеты образуют прямой угол, значит один из них можно взять за основание, а другой будет высотой. Вторая часть использует те же данные, но отвечает уже на вопрос о длине. Если в ответе нужна только площадь, не трать время на гипотенузу.
После решения подставь результат обратно мысленно: стороны 6, 8 и 10 образуют известную пифагорову тройку, а площадь 24 меньше площади прямоугольника 6 × 8, что разумно.
Типичные ошибки на экзамене
Первая ошибка — считать рисунок точным. Если угол кажется острым, это ещё не означает, что он равен 60°. Вторая — использовать теорему без проверки условий: теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике, а формула ½ × a × h требует именно высоту к выбранному основанию.
Третья ошибка — перепутать радиус и диаметр. Диаметр равен 2R, поэтому если дан диаметр d, то радиус R = d ÷ 2. Четвёртая — потерять квадрат при вычислении площади. Пятая — дать ответ без единиц или округлить число раньше времени.
Высота может лежать вне треугольника, особенно в тупоугольной фигуре. Не выбирай «самую вертикальную» линию: проверь, перпендикулярна ли она основанию.
Чтобы закрепить навык, решай сначала без подсказки, а затем сравнивай не только ответ, но и цепочку рассуждений. В личном кабинете можно открыть бесплатную практику и потренироваться на похожих задачах в удобном темпе.
Что запомнить
Перед заданием 15–16 внимательно прочитай условие и расшифруй чертёж. Ищи равные углы и стороны, параллельность, прямые углы и радиусы. Для углов держи в памяти сумму 180°, для прямоугольного треугольника — c² = a² + b², для площади — ½ × a × h. Формулу выбирай после определения фигуры, а не наоборот.
Проверяй, что ответ отвечает именно на вопрос, сохраняй единицы измерения и не округляй слишком рано. Если решение состоит из нескольких частей, оформляй каждую отдельно: так легче увидеть пропущенный шаг и исправить вычислительную ошибку.
Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, а затем разберись с каждой ошибкой по чертежу и формуле. Регулярная короткая практика помогает превратить теорию в привычный алгоритм.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько задач разных типов: на углы, площадь, Пифагора и окружность. Каждый раз сначала выписывай данные, затем называй свойство и только после этого считай. Ошибки фиксируй в отдельной таблице: «не увидел условие», «выбрал неверную формулу» или «ошибся в вычислении». Так повторение будет адресным.
Как понять, какую формулу выбрать?
Определи фигуру и величину, которую нужно найти. Для площади ищи основание и высоту, для неизвестной стороны прямоугольного треугольника — теорему Пифагора, для угла — свойства треугольников и параллельных прямых.
Можно ли доверять виду чертежа?
Нет. Чертёж помогает увидеть связи, но не заменяет условие. Доверяй только обозначениям, данным числам и теоремам. Внешне равные отрезки нельзя считать равными без соответствующего знака или прямого указания.
Что делать, если ответ не получается?
Вернись к началу: проверь, какая фигура дана, есть ли прямой угол, правильно ли выписаны величины и совпадают ли единицы. Затем пересчитай отдельно каждую строку, не меняя сразу несколько шагов.
Проверь себя на реальных заданиях
После такого разбора решите 5–7 заданий подряд — и тема ваша. Тренажёр Просто Урок подберёт их автоматически, ошибки объяснит по шагам. Бесплатно, в браузере.