ОГЭ: повторение задания 13

ОГЭ: повторение задания 13 — что нужно уметь

Задание 13 часто кажется длиннее и сложнее, чем есть на самом деле: в условии появляются скобки, дроби, корни или несколько неизвестных. Но цель у него понятная — проверить, умеешь ли ты распознавать тип уравнения, выполнять преобразования и записывать ответ. На этом разборе ты повторишь основные алгоритмы, увидишь полное решение и научишься замечать места, где чаще всего теряются баллы.

В задании могут встретиться линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения, а также системы. Поэтому начинать нужно не с механического раскрытия скобок, а с определения структуры. Посмотри, где находится неизвестное, есть ли знаменатель с переменной, появляется ли x² и требуется ли решить сразу два уравнения.

Полезно заранее освежить действия с выражениями и степенями: для этого подойдут материалы по повторению заданий 9–10 и по заданиям 11–12. Эти навыки напрямую помогают не ошибаться в преобразованиях.

Алгоритм решения уравнения

Сначала внимательно перепиши уравнение и определи допустимые значения переменной. Ограничения особенно важны, если x находится в знаменателе или под знаком корня. Затем упрости обе части: раскрой скобки, приведи подобные слагаемые, сократи дроби только там, где это разрешено.

После этого перенеси слагаемые с неизвестной в одну часть, а свободные числа — в другую. При переносе знак меняется. Получив линейное уравнение ax + b = 0, используй x = −b ÷ a, если a ≠ 0. Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисли дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)
D > 0 → два корня
D = 0 → один корень
D < 0 → действительных корней нет

В конце обязательно сделай проверку подстановкой. Если были ограничения, исключи значения, которые запрещены исходным уравнением. В ответе указывай только подходящие корни, а не все числа, полученные после преобразований.

Полностью разобранный пример

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором сначала нужно избавиться от скобок. Не спеши сразу искать дискриминант: сначала приведи выражение к стандартному виду. Каждый переход записывай отдельно, особенно если перед скобками стоит минус.

\( 2(x - 3)^2 - 8 = 0 \)
\( 2(x^2 - 6x + 9) - 8 = 0 \)
\( 2x^2 - 12x + 18 - 8 = 0 \)
\( 2x^2 - 12x + 10 = 0 \)
\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)
\( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \)
\( x_1 = (6 - \sqrt{1}6) \div 2 = 1 \)
\( x_2 = (6 + \sqrt{1}6) \div 2 = 5 \)
Ответ: 1; 5

Проверка подтверждает результат: при x = 1 получаем 2 · (−2)² − 8 = 0, а при x = 5 — 2 · 2² − 8 = 0. Оба значения подходят. Обрати внимание: после деления всего уравнения на 2 коэффициент при x² стал равен 1, поэтому корни было проще находить.

Если в задании встречается система, решай её способом подстановки или сложения. Вырази одну переменную, подставь во второе уравнение, найди значение первой, а затем вернись к первой строке и вычисли вторую. Пару обязательно проверь в обоих уравнениях.

Дроби, корни и системы

В дробно-рациональном уравнении первым шагом выпиши ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю. Например, при дроби 3 ÷ (x − 2) нужно сразу отметить x ≠ 2. Затем можно умножить обе части на общий знаменатель, но найденные корни после этого проверяются в исходном уравнении.

С корнями действуй осторожно. Если √(x + 1) = 3, то одновременно x + 1 ≥ 0 и x + 1 = 9, откуда x = 8. При возведении обеих частей в квадрат иногда появляются посторонние корни, поэтому проверка обязательна. Не забывай: √x существует только при x ≥ 0.

Вид задания	Главный шаг	Что проверить
Линейное	Собрать x и числа	Коэффициент при x
Квадратное	Привести к ax² + bx + c = 0	Дискриминант и корни
Дробное	Записать ОДЗ	Знаменатели исходного уравнения
Система	Подставить или сложить	Оба уравнения

Для дополнительной тренировки задач, где важно выбрать правильный алгоритм, можно использовать бесплатную практику в личном кабинете: после регистрации решения удобно возвращаться к ошибкам.

Типичные ошибки на экзамене

Первая ошибка — неверное раскрытие скобок. В выражении −(x − 4) получится −x + 4, а не −x − 4. Вторая — потеря коэффициента при делении. Если 3x = 12, то x = 4, но нельзя делить только один член.

Третья проблема — неправильный дискриминант. В формуле b нужно брать вместе со знаком: для уравнения x² − 6x + 5 = 0 значение b равно −6. Четвертая — отсутствие проверки в дробных уравнениях и уравнениях с корнями. Алгебраические преобразования могут расширить множество решений.

Еще одна ошибка — слишком короткая запись. Даже если ответ верный, пропущенный переход затрудняет проверку. Оставляй видимыми раскрытие скобок, вычисление D, найденные корни и проверку. Перед сдачей перечитай знаки, индексы корней и формат ответа.

Закрепить навык можно в личном кабинете с бесплатными заданиями: решай по одному примеру каждого типа и отмечай, на каком шаге возникла трудность.

Что запомнить перед ОГЭ

Задание 13 решается уверенно, если соблюдать порядок: определить вид уравнения, выписать ОДЗ, упростить выражение, привести его к удобному виду, найти корни и проверить их в исходной записи. Для квадратного уравнения держи перед глазами формулу D = b² − 4ac, а для корней и дробей не пропускай ограничения.

Не пытайся угадывать ответ по виду примера. Один лишний минус меняет весь результат, поэтому аккуратная запись здесь важнее скорости. Если решение получилось громоздким, раздели его на короткие строки и проверь каждое преобразование отдельно.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения сравни не только ответ, но и способ: так ты поймешь, какой алгоритм уже закрепился, а какой нужно повторить.