Окружность и круг в 7 классе

Разбираемся, чем окружность отличается от круга

Если в задачах путаются радиус, диаметр и длина окружности, решение быстро превращается в набор случайных действий. Разберём тему по шагам, чтобы ты уверенно находил элементы фигуры, применял формулы и проверял ответ.

Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг — часть плоскости внутри окружности вместе с самой окружностью. Представь циферблат часов: его край — окружность, а вся поверхность — круг.

Центр обозначают буквой O. Отрезок от центра до любой точки окружности называют радиусом и обозначают r. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр, называют диаметром d.

\( d = 2r \)
\( r = d : 2 \)

У одной окружности радиусы равны. Диаметр всегда в два раза длиннее радиуса. Это первое правило, которое стоит держать в памяти при решении задач.

Находим длину окружности и площадь круга

Для длины окружности используют число π. Оно показывает, во сколько раз длина окружности больше её диаметра. В школьных задачах обычно берут π ≈ 3,14, если не требуется оставить ответ через π.

\( C = 2\pi r \)
\( C = \pi d \)

Здесь C — длина окружности, r — радиус, d — диаметр. Если известен только радиус, удобнее первая формула. Если дан диаметр, используй вторую.

Площадь относится уже ко всему кругу. Она показывает, сколько квадратных единиц занимает фигура.

\( S = \pi r^2 \)

Степень ² важна: радиус нужно умножить сам на себя, а не просто умножить на 2. Например, при r = 4 см площадь равна 3,14 × 4² = 50,24 см².

Решаем задачу по понятному алгоритму

Разберём типичную задачу: радиус колеса велосипеда равен 35 см. Найдём длину окружности и расстояние, которое колесо проходит за один полный оборот. Один оборот означает, что колесо прокатывается на длину своей окружности.

Сначала записываем известное значение. Затем выбираем формулу длины окружности, подставляем радиус и выполняем вычисления. В конце указываем единицы измерения.

Дано: r = 35 см
\( C = 2\pi r \)
\( C = 2 \times 3,14 \times 35 \)
\( C = 219,8 \text{см} \)
Ответ: за один полный оборот колесо проходит 219,8 см, или 2,198 м.

Если в задаче спрашивают путь за несколько оборотов, длину окружности умножают на их количество. Например, за 3 оборота колесо пройдёт 219,8 × 3 = 659,4 см.

Проверка здравого смысла тоже полезна: диаметр этого колеса равен 70 см, значит длина окружности должна быть немного больше 3 × 70 = 210 см. Получившиеся 219,8 см выглядят правдоподобно.

Используем дуги, хорды и части круга

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр является самой длинной хордой, потому что проходит через центр. Часть окружности между двумя точками называют дугой. Если соединить центр с концами дуги, получится центральный угол.

Круг можно разделить на части. Сектор ограничен двумя радиусами и дугой. Например, кусок пиццы — модель сектора. Сегмент ограничен хордой и дугой.

Для полного круга угол равен 360°. Если сектор составляет ¼ круга, его площадь равна ¼ всей площади:

\( S_{\text{сектора}} = ¼\pi r^2 \)

Если дана доля ¾, умножай площадь круга на ¾. Сначала найди площадь всего круга, а затем возьми нужную часть. Не смешивай длину дуги и площадь сектора: первая измеряется в сантиметрах, вторая — в квадратных сантиметрах.

Бесплатно потренироваться на таких переходах можно в личном кабинете «Просто Урок»: там удобно возвращаться к заданиям и разбирать ошибки.

Избегаем ошибок в задачах

Самая частая ошибка — подмена радиуса диаметром. Если на рисунке показан отрезок от одного края до другого через центр, это диаметр. Перед применением формулы проверь, какая именно величина дана.

Вторая проблема — неверные единицы. Если радиус дан в метрах, длина окружности получится в метрах, а площадь — в квадратных метрах. При переводе 2 м в сантиметры получаем 200 см, но 2 м² — это уже 20 000 см².

Третья ошибка — забытая степень в формуле площади. Запись 3,14 × 5 × 2 вычисляет не площадь круга. Нужно сначала найти 5², а затем умножить результат на π.

Что дано	Что найти	Формула
r	d	d = 2r
d	C	C = πd
r	S	S = πr²

Короткая практика в личном кабинете поможет закрепить выбор формулы без спешки.

Что запомнить перед самостоятельной работой

Окружность — граница, круг — вся область внутри неё. Радиус идёт от центра к окружности, диаметр соединяет две точки окружности через центр. Поэтому d = 2r, а r = d : 2.

Для длины окружности используй C = 2πr или C = πd. Для площади круга используй S = πr². Не забывай: длина измеряется в единицах длины, площадь — в квадратных единицах. В задачах с сектором сначала найди площадь полного круга, затем умножь её на нужную долю.

Алгоритм простой: выпиши данные, приведи единицы к одному виду, выбери формулу, подставь значения и проверь ответ. Если результат кажется слишком большим или маленьким, перепроверь радиус, диаметр и степень.

Следующий шаг: зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме бесплатно. После каждого ответа отметь, где возникла ошибка: в формуле, вычислении или единицах.