Памятка: формулы сокращённого умножения

Зачем нужны формулы сокращённого умножения

Если при раскрытии скобок ты теряешь знаки, путаешь коэффициенты и долго считаешь однотипные выражения, формулы сокращённого умножения помогут заметно ускорить работу. Они превращают громоздкие вычисления в короткий понятный алгоритм: узнал знакомую конструкцию, подставил числа и проверил результат.

Эти формулы встречаются в обычных упражнениях, контрольных, ОГЭ и ЕГЭ. Их используют для раскрытия скобок, разложения на множители, упрощения дробей и вычисления значений выражений. Важно не просто выучить строки, а видеть структуру: сумму или разность двух выражений, квадрат, произведение или куб.

Перед применением обозначь части выражения буквами или мысленно выдели их. Например, в выражении (3x + 5)² первое слагаемое — 3x, второе — 5. Такой шаг снижает риск ошибки и помогает понять, какую формулу выбрать.

Квадрат суммы и квадрат разности

Главные формулы начинаются с квадратов двучлена. Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Запомни отличие: крайние слагаемые всегда положительные, а знак среднего слагаемого повторяет знак между a и b. Поэтому в квадрате разности середина отрицательная. Нельзя просто возвести в квадрат каждый член и забыть про произведение 2ab.

Пример: (x + 4)² = x² + 8x + 16. Здесь 2 × x × 4 = 8x. Для разности получаем (x − 4)² = x² − 8x + 16.

Обратное применение тоже важно. Выражение x² + 10x + 25 можно свернуть в (x + 5)², потому что 25 = 5², а 10x = 2 × x × 5.

Разность квадратов

Разность квадратов распознаётся по двум скобкам, в которых стоят одинаковые выражения, но между ними разные знаки:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \)

Формула работает только для разности, то есть между квадратами должен стоять знак «−». Сумму квадратов a² + b² нельзя разложить таким способом в рамках школьных формул.

Разложение на множители удобно, когда нужно сократить дробь. Например, x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Если в знаменателе есть множитель x − 4, его можно сократить, но только при условии x ≠ 4: исходное выражение в этой точке не определено.

Конструкция	Результат	Подсказка
x² − 9	(x − 3)(x + 3)	9 = 3²
25y² − 4	(5y − 2)(5y + 2)	25y² = (5y)²
49 − z²	(7 − z)(7 + z)	49 = 7²

При проверке перемножь скобки: два смешанных произведения уничтожатся, останется разность квадратов.

Куб суммы и куб разности

Формулы куба похожи на формулы квадрата, но в них четыре слагаемых. Особенно внимательно следи за знаками:

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
\( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

У куба суммы все знаки положительные. В кубе разности знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус. Коэффициент 3 появляется дважды, но степени a и b меняются местами.

Например, (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8. Первый средний член: 3 × x² × 2 = 6x². Второй: 3 × x × 2² = 12x. Последний член — 2³ = 8.

Обратная формула помогает заметить полный куб: 8y³ + 12y² + 6y + 1 = (2y + 1)³. Сначала проверь кубы крайних членов, затем коэффициенты внутри. Если один признак не совпадает, выражение нельзя сворачивать по этой формуле.

Для самостоятельной практики можно зарегистрироваться в личном кабинете и бесплатно потренироваться: после теории полезно сразу решить несколько коротких примеров.

Как выбрать формулу и не ошибиться

Действуй по шагам. Сначала посчитай количество слагаемых и посмотри на знаки. Два квадрата с минусом между ними подсказывают разность квадратов. Одна скобка в квадрате указывает на квадрат суммы или разности. Одна скобка в кубе — на куб двучлена.

Затем выдели a и b. В выражении (2m − 3n)² это a = 2m и b = 3n, поэтому средний член равен −2 × 2m × 3n = −12mn, а не −6mn. После раскрытия приведи подобные слагаемые.

Типичные ошибки:

• забыть средний член в квадрате двучлена;
• поставить плюс вместо минуса в квадрате разности;
• перепутать a² − b² и a² + b²;
• не возвести коэффициент вместе с переменной;
• сократить множители в дроби, не указав ограничения на переменную.

Если сомневаешься, раскрой скобки обычным умножением и сравни результат. Такая проверка занимает немного времени, но спасает от потери знака.

Что запомнить

Квадрат суммы: a² + 2ab + b². Квадрат разности: a² − 2ab + b². Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b). Куб суммы и куб разности содержат коэффициент 3 и четыре слагаемых. Главное — распознавать шаблон, правильно определить a и b, а затем проверить знаки.

Удобная мини-памятка: «квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго». Для кубов запоминай коэффициенты 1, 3, 3, 1. Для разности квадратов держи в голове два скобочных выражения с противоположными знаками.

Следующий шаг — зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно. Начни с квадратов, затем переходи к разности квадратов и кубам. Если нужна экзаменационная практика, загляни в разделы заданий ОГЭ или подготовки к ЕГЭ.