Памятка: логарифмы

1. Что такое логарифм

Логарифмы часто кажутся набором непонятных правил: основания меняются местами, появляются ограничения, а в ответе легко потерять знак. Эта памятка поможет выстроить тему по шагам: понимать смысл логарифма, быстро применять свойства и проверять себя без угадывания.

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Записывают так: logₐ b = x. Это равенство означает одно и то же, что и aˣ = b.

Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. В выражении logₐ b число a называют основанием, b — аргументом, а x — значением логарифма.

$\log _{a} b = x \to a^{x} = b$
$2^3 = 8 \to log_2 8 = 3$
$10^2 = 100 \to log_{10} 100 = 2$

Основание должно быть положительным и не равным единице: a > 0, a ≠ 1. Аргумент обязан быть положительным: b > 0. Эти условия проверяют до преобразований, особенно если внутри логарифма стоит переменная.

2. Основные значения и свойства

Начинай решение с простых случаев. Логарифм единицы при любом допустимом основании равен нулю, потому что a⁰ = 1. Логарифм самого основания равен единице: a¹ = a. Если аргумент равен степени основания, показатель этой степени и будет ответом.

$\log _{a} 1 = 0$
$\log _{a} a = 1$
$\log _{a} a^{n} = n$
$\log _{a} (1/a) = -1$

Для положительных x и y действуют свойства произведения, частного и степени. Они позволяют заменить сложное выражение суммой, разностью или множителем.

$\log _{a} (x \times y) = \log _{a} x + \log _{a} y$
$\log _{a} (x/y) = \log _{a} x - \log _{a} y$
$\log _{a} (x^{n}) = n \cdot \log _{a} x$

Важно: эти формулы нельзя применять к сумме. logₐ (x + y) обычно не равен logₐ x + logₐ y. Для тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и отдельно отработать каждое свойство.

3. Переход к новому основанию

Иногда нужного основания нет в таблице или калькулятор умеет считать только десятичные и натуральные логарифмы. Тогда используется формула перехода к новому основанию. В числителе записывают логарифм аргумента, в знаменателе — логарифм основания, причём оба по одному и тому же новому основанию.

$\log _{a} b = \log 𝚌 b / \log 𝚌 a$
$log_2 7 = log_{10} 7 / log_{10} 2$
$\log _{a} b = 1 / \log ᵦ a$

Последняя запись называется свойством взаимно обратных логарифмов. Она полезна, когда нужно поменять местами основание и аргумент. Но следи за условиями: a, b и c должны подходить для логарифмов, а c не может быть равно единице.

Ситуация	Удобное действие
Аргумент — степень основания	Перейти к определению
Есть произведение	Разложить на сумму логарифмов
Есть дробь	Разложить на разность
Основание неудобное	Применить переход к новому основанию

Такой алгоритм особенно полезен при подготовке к заданиям ОГЭ, где важно не только знать формулу, но и выбрать короткий путь.

4. Как решать логарифмические уравнения

В простом логарифмическом уравнении сначала выпиши область допустимых значений. Аргумент каждого логарифма должен быть больше нуля. Затем своди уравнение к одинаковым основаниям или используй определение логарифма.

Рассмотрим уравнение с переменной внутри аргумента. Здесь важно не пропустить проверку: найденное значение должно сохранять положительность аргумента.

$log_2(x - 1) = 3$
x − 1 > 0 → x > 1
$x - 1 = 2^3$
$x - 1 = 8$
$x = 9$
Проверка: 9 − 1 = 8 > 0
Ответ: x = 9

Если логарифмы имеют одинаковое основание, равенство их аргументов допустимо только при выполнении условий существования. Например, из log₅(x + 2) = log₅ 7 получаем x + 2 = 7, значит x = 5.

При основании больше единицы функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. При 0 < a < 1 функция убывает, и знак меняется на противоположный. Это правило часто проверяют в заданиях повышенной сложности.

5. Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — забыть ограничения. В выражении log₃(x − 4) нельзя считать допустимым x = 4: аргумент станет нулём. Вторая — неверно раскрыть степень. Множитель перед логарифмом появляется только тогда, когда степень находится внутри аргумента: logₐ(x³) = 3 · logₐ x, а не logₐ x³ без пояснения.

Третья ошибка — разделить логарифм суммы. Формула для произведения не превращает logₐ(x + y) в сумму. Четвёртая — перепутать основание и аргумент при переходе.

Неверно: logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y
Верно: logₐ(x × y) = logₐ x + logₐ y
Неверно: logₐ b = log𝚌 a ⁄ log𝚌 b
Верно: logₐ b = log𝚌 b ⁄ log𝚌 a

После решения подставь ответ в исходное выражение. Проверь знак аргумента, основание и арифметику. Если готовишься к экзамену, полезно решать варианты по темам, например в разделе подготовки к ЕГЭ по математике, а ошибки записывать в отдельную таблицу.

6. Что запомнить

Логарифм — это показатель степени: logₐ b = x равносильно aˣ = b. Всегда проверяй условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Для произведения используй сумму, для частного — разность, для степени — множитель. Сумму внутри аргумента раскладывать нельзя.

Решая уравнение, действуй по порядку: выпиши ОДЗ, упрости выражение, найди корень, проверь его в исходной записи. В неравенствах отдельно определи, больше или меньше единицы основание.

Закрепи тему действием: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждой ошибки объясни себе, на каком шаге нарушилось правило: так формулы превращаются в понятный алгоритм.