Памятка: теория вероятностей

Что изучает теория вероятностей

Случайные события встречаются в задачах чаще, чем кажется: выпадет ли нужная грань кубика, успеет ли автобус, выберут ли из коробки красный шар. Если в условии много вариантов и непонятно, с чего начать, эта памятка поможет увидеть порядок действий и уверенно находить вероятность события.

Вероятность показывает, насколько возможно наступление события. Она выражается числом от 0 до 1 или от 0% до 100%.

Событие с вероятностью 0 невозможно, а с вероятностью 1 достоверно. Например, при броске обычного кубика событие «выпало число 7» невозможно, а событие «выпало число от 1 до 6» достоверно.

В задачах важно различать исход и событие. Исход — один результат опыта, например выпадение тройки. Событие может включать несколько исходов: выпадение чётного числа объединяет исходы 2, 4 и 6.

Если все исходы равновозможны, используется классическая формула:

\( P(A) = m \div n \)
m — число благоприятных исходов
n — число всех равновозможных исходов

Как находить вероятность по шагам

Сначала внимательно определи, какой опыт описан в условии: бросок, выбор предмета, случайная встреча или другое действие. Затем выпиши все возможные исходы. Не переходи к вычислениям, пока не убедишься, что ни один вариант не пропущен.

После этого определи благоприятные исходы — те, при которых событие происходит. Раздели их количество на общее число исходов и сократи дробь, если это возможно. Ответ можно записать дробью, десятичным числом или процентом.

Событие	Как считать	Пример
Противоположное	P(не A) = 1 − P(A)	не выпадет 6
Несовместимые A и B	P(A или B) = P(A) + P(B)	1 или 6 на кубике
Независимые A и B	P(A и B) = P(A) × P(B)	две решки подряд

События называются несовместимыми, если не могут произойти одновременно. Независимые события не влияют друг на друга: результат первого опыта не меняет вероятность второго.

Сочетания, перестановки и подсчёт исходов

Иногда перечислить исходы вручную трудно. Тогда помогает правило произведения: если первый выбор можно сделать n способами, а второй — m способами, всего получится n × m вариантов. Например, из 3 футболок и 2 пар брюк можно составить 3 × 2 = 6 комплектов.

Если порядок объектов важен, используются перестановки и размещения. Если порядок не важен, говорят о сочетаниях. В школьных задачах не всегда требуется запоминать все обозначения, но смысл нужно понимать: считаем именно различные варианты, а не повторяем один и тот же набор.

Факториал: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n
Размещения: Aₙᵏ = n! ÷ (n − k)!
Сочетания: Cₙᵏ = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Например, выбрать старосту и помощника из пяти учеников можно 5 × 4 = 20 способами: должности разные, поэтому порядок важен. А выбрать двух дежурных можно C₅² = 10 способами: пара учеников остаётся той же независимо от порядка.

Для экзамена полезно проверять здравый смысл ответа. Число благоприятных вариантов не может быть больше общего числа, а вероятность не может превышать 1.

Закрепить подсчёт можно в личном кабинете с бесплатной практикой: после каждого задания сразу видно, на каком шаге появилась ошибка.

Сложение и умножение вероятностей

Формула сложения применяется, когда нужно узнать вероятность события «A или B». Если события несовместимы, вероятности просто складываются. При пересечении событий общий участок нельзя посчитать дважды, поэтому используется более общая запись:

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

Формула умножения применяется для события «A и B». Если события независимы, достаточно перемножить их вероятности. Например, вероятность получить орла два раза подряд при честном броске монеты равна ½ × ½ = ¼.

В задачах без возвращения предмета события часто зависимы. После первого выбора состав набора меняется, значит, вероятность второго шага нужно пересчитать. Если шар возвращают обратно, состав не меняется и события обычно становятся независимыми.

Для последовательных зависимых выборов:
P(A и B) = P(A) × P(B после A)

Не путай слова «или» и «и». «И» ведёт к умножению на следующем этапе, а «или» часто означает сложение вариантов. Однако сначала проверь, не пересекаются ли эти варианты.

Для подготовки к ОГЭ удобно разобрать похожие формулировки в разделе материалов ОГЭ, а для старших классов — в разделе ЕГЭ.

Разобранный пример и типичные ошибки

Задача. В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад достают один шар. Найди вероятность того, что он окажется белым.

Всего шаров: 5 + 3 = 8
Благоприятных исходов: 5
P(белый) = 5 ÷ 8
Ответ: ⅝

Мы считаем каждый шар отдельным равновозможным исходом. Белых исходов пять, всех исходов восемь, поэтому в формулу подставлены именно эти числа. Десятичная запись ответа — 0,625, а процентная — 62,5%.

Если бы доставали два шара без возвращения и требовалось получить два белых, решение выглядело бы иначе:

\( P = 5 \div 8 \times 4 \div 7 = 20 \div 56 = 5 \div 14 \)

Первая вероятность равна 5 ÷ 8, а после белого шара остаётся 4 белых из 7. Типичная ошибка — оставить 5 ÷ 8 и для второго шага, будто шар вернули.

Ещё одна ошибка — считать только цвета, а не предметы. Если шаров одного цвета несколько, каждый из них является отдельным равновозможным исходом.

Что запомнить

Вероятность — число от 0 до 1. Для равновозможных исходов используй отношение благоприятных исходов к общему числу. Для события «не A» вычитай вероятность A из 1. Для независимых последовательных событий перемножай вероятности, а для несовместимых альтернатив складывай их.

Перед решением выпиши все исходы или придумай удобную схему подсчёта. Проверь, меняется ли состав после первого выбора, возвращается ли предмет обратно и не посчитан ли один вариант дважды.

Полезно решать задачи небольшими сериями: сначала на одну формулу, затем смешанные. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете, чтобы сразу проверить, насколько уверенно применяешь правила.

Если результат получился отрицательным или больше 1, вернись к подсчёту исходов. В теории вероятностей аккуратная схема часто важнее длинных вычислений.