Памятка: задачи на проценты ЕГЭ

1. Проценты: что нужно знать перед ЕГЭ

Задачи на проценты часто выглядят знакомо, но одна неверно выбранная величина легко уводит к неправильному ответу. Здесь важно не просто помнить формулу, а понимать, от чего считается процент. В этой памятке ты разберёшь основные типы задач, научишься переводить условие на математический язык и проверять результат. Такой алгоритм пригодится и в простых заданиях, и в задачах с несколькими изменениями величины.

Процент — это одна сотая часть числа: 1% = 1/100. Поэтому p% от числа a находится так: a × p/100. Если нужно узнать, сколько процентов составляет число b от числа a, используют отношение b/a × 100%. Сначала всегда определи, что является целым, или 100%.

\( 1\% = \dfrac{1}{100} \)
p% от a = a × p/100
b составляет от a: b/a × 100%

Полезная привычка: выписывай рядом с числами слова «было», «стало», «часть», «целое». Если хочешь спокойно потренироваться после разбора, можно открыть бесплатную практику в личном кабинете.

2. Три базовых типа задач

Первый тип — найти процент от числа. Например, 15% от 240: переводим процент в дробь и умножаем 240 × 15/100. Второй тип — найти число по его проценту. Если 18% числа равны 54, то всё число равно 54 ÷ 0,18. Делить на 18 нельзя: 54 — это только 18 сотых целого.

Третий тип — определить, сколько процентов одно число составляет от другого. Здесь в знаменателе стоит исходное, полное значение. Например, 36 из 120: 36 ÷ 120 × 100% = 30%.

15% от 240 = 240 × 0,15 = 36
18% числа = 54 → число = 54 ÷ 0,18 = 300
36 от 120 = 36 ÷ 120 × 100% = 30%

Перед вычислением подпиши единицы: рублей, литров, страниц или просто «часть числа». В ответе на вопрос «сколько процентов?» должен получиться процент, а на вопрос «сколько?» — число в исходных единицах.

3. Изменение величины на проценты

Если величину увеличили на p%, новый результат составляет 100% + p% от исходного. Коэффициент изменения равен 1 + p/100. При уменьшении на p% остаётся 100% − p%, поэтому коэффициент равен 1 − p/100.

Увеличение на p%: новое = старое × (1 + p100)
Уменьшение на p%: новое = старое × (1 − p100)
Рост на 25% → умножение на 1,25
Снижение на 25% → умножение на 0,75

Обрати внимание: увеличение на 20%, а затем уменьшение на 20% не возвращает исходное число. Например, 100 → 120 → 96. Второе изменение считается уже от 120, а не от 100. В задачах с последовательными изменениями перемножай коэффициенты: 1,2 × 0,8 = 0,96.

Если спрашивают общий процент изменения, сравни разность нового и старого значения с исходным: (новое − старое) ÷ старое × 100%. Знак покажет направление: плюс — рост, минус — снижение.

Для закрепления этого алгоритма зарегистрируйся и реши несколько тренировочных задач, отмечая в черновике каждый коэффициент.

4. Разобранный пример с последовательными скидками

Разберём задачу полностью. Товар стоил 2400 рублей. Сначала цену снизили на 15%, затем новую цену увеличили на 10%. Какой стала цена и на сколько процентов она отличается от первоначальной?

На первом шаге после скидки остаётся 85% стоимости, то есть коэффициент 0,85. На втором шаге цена увеличивается на 10%, поэтому новый коэффициент равен 1,1. Перемножаем коэффициенты, а не сами проценты: итоговый коэффициент 0,85 × 1,1 = 0,935.

2400 × 0,85 = 2040 рублей
2040 × 1,1 = 2244 рубля
2244 − 2400 = −156 рублей
\( -156 \div 2400 \times 100\% = -6,5\% \)
Ответ: 2244 рубля; цена уменьшилась на 6,5%

Проверка здравого смысла: после скидки цена упала заметно, а десятипроцентная прибавка вернула только часть потери. Поэтому итог должен быть меньше 2400 рублей. Такая проверка помогает обнаружить ошибку ещё до записи ответа.

5. Таблица ошибок и способы проверки

В ЕГЭ ошибки часто появляются не в арифметике, а при чтении условия. Слово «на» означает изменение относительно исходного значения, а «до» — итоговый уровень. Если зарплату повысили до 120%, это рост на 20%, а не на 120%.

Ошибка	Как правильно рассуждать
Сложить проценты при последовательных изменениях	Перемножить коэффициенты изменения
Взять новое значение за 100%	Для общего изменения использовать исходное значение
Перепутать 0,7 и 70%	70% = 0,7, а 0,7% = 0,007
Не проверить единицы ответа	Сверить вопрос: число, рубли или проценты

Отдельно будь внимателен к дробям и смешанным числам: 2⅓ = 7/3, а ¾ = 0,75. Проценты можно считать и через дробь, и через десятичный коэффициент — выбирай способ, который уменьшает количество действий.

6. Что запомнить

Главное правило: сначала найди 100%, затем определи, от какой величины считается процент. Процент от числа — умножение на p/100. Число по проценту — деление части на долю. Доля одного числа от другого — деление на исходное целое и умножение на 100%.

Для изменений используй коэффициенты: рост на p% даёт 1 + p/100, снижение — 1 − p/100. При нескольких изменениях коэффициенты перемножаются. В конце проверь знак, единицы и приблизительный смысл ответа.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После каждого решения объясни себе, какое число было 100% и почему выбран именно такой коэффициент. При необходимости загляни в раздел подготовки к ЕГЭ или сравни уровень с материалами для ОГЭ.