Подобие треугольников: ОГЭ

Как быстро распознать подобие треугольников

На ОГЭ задача на подобие часто выглядит громоздко: много линий, букв и чисел, а времени мало. Ты научишься за несколько шагов находить подобные треугольники, составлять верную пропорцию и спокойно получать ответ.

Два треугольника называют подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Фигуры могут иметь разный размер, но сохраняют одну и ту же форму. Например, маленький треугольник на чертеже может быть уменьшенной копией большого.

Главное понятие темы — коэффициент подобия. Если сторона первого треугольника в 2 раза больше соответствующей стороны второго, то коэффициент подобия равен 2. Все соответствующие стороны отличаются в одно и то же число раз.

ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁
\( AB : A_1B_1 = BC : B_1C_1 = AC : A_1C_1 \)
\( k = AB : A_1B_1 \)

На экзамене сначала ищи не числа, а признаки подобия: равные углы, параллельные прямые, вертикальные углы или общий угол. Это помогает увидеть структуру задачи раньше вычислений.

Три признака, которые нужно узнавать на чертеже

Первый признак: два угла одного треугольника равны двум углам другого. Третий угол тоже будет равен, потому что сумма углов треугольника равна 180°. На практике достаточно доказать равенство двух углов.

Второй признак: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны. Здесь важно, что речь идёт именно о включённых углах. Нельзя брать произвольный угол рядом с нужными сторонами.

Третий признак: три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого. Для ОГЭ чаще встречается первый признак, особенно в задачах с параллельными прямыми и пересекающимися отрезками.

Признак	Что сравниваем	Подсказка на рисунке
1	Два угла	Параллельные прямые, вертикальные углы
2	Две стороны и угол между ними	Длины и равный включённый угол
3	Три стороны	Три пропорции

Если треугольники подобны, записывай их вершины в соответствующем порядке. Запись ΔABC ∼ ΔDEF означает: A соответствует D, B соответствует E, C соответствует F.

Как составить пропорцию без ошибки

После доказательства подобия выбери одну пару соответствующих сторон. Затем определи, какая сторона из второго треугольника соответствует каждой стороне первого. Удобно пользоваться порядком вершин: если ΔABC ∼ ΔKLM, то AB соответствует KL, BC соответствует LM, а AC соответствует KM.

Пропорцию можно составлять двумя способами. Например, отношение маленького треугольника к большому должно сохраняться во всех парах. Нельзя в одной дроби поставить малую сторону сверху, а в другой — большую.

ΔABC ∼ ΔDEF
\( AB : DE = BC : EF = AC : DF \)
Если AB = 6, DE = 9, EF = 12, то
\( 6 : 9 = BC : 12 \)
\( BC = 6 \times 12 : 9 = 8 \)

Иногда проще найти коэффициент подобия: k = 9 : 6 = 1,5. Тогда соответствующая сторона большого треугольника в 1,5 раза больше, а сторона маленького получается делением на 1,5.

В заданиях ОГЭ ответ обычно требуется записать числом. Но промежуточную пропорцию лучше сохранять хотя бы мысленно: она показывает, почему выбранное действие верно.

В бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок» можно отдельно потренировать соответствие сторон и пропорции.

Разобранный пример в формате ОГЭ

Рассмотрим типичную ситуацию. В треугольнике ABC проведён отрезок DE, причём D лежит на AB, E лежит на AC, а DE параллелен BC. Известно: AD = 4, AB = 10, AC = 15. Найдём AE.

Параллельность даёт равенство углов: угол A общий, угол ADE равен углу ABC, угол AED равен углу ACB. Значит, треугольники ADE и ABC подобны по двум углам. Вершины соответствуют так: A → A, D → B, E → C.

ΔADE ∼ ΔABC
\( AD : AB = AE : AC \)
\( 4 : 10 = AE : 15 \)
\( AE = 4 \times 15 : 10 \)
\( AE = 6 \)

Ответ: 6. Заметь, мы не использовали сторону DE, потому что для нахождения AE достаточно одной пары известных соответствующих сторон и нужной стороны. Если в условии дана схема, проверь, действительно ли отрезок параллелен третьей стороне, а не просто выглядит параллельным.

Такой алгоритм подходит для многих задач 15–19: установить подобие, сопоставить вершины, записать пропорцию, выполнить вычисление и проверить смысл ответа. Длина части стороны не должна оказаться больше длины всей стороны.

Типичные ошибки и проверка решения

Ошибка номер один — неверный порядок вершин. Если треугольники записаны как ΔABC и ΔMNP, стороны AB и MN соответствуют друг другу только при таком порядке. Исправить ошибку можно, если сначала отметить равные углы и лишь потом записывать подобие.

Ошибка номер два — перепутать часть и целый отрезок. В примере AD относится к AB, а AE — к AC. Нельзя заменить AD на DB, если в другой части пропорции стоит AC.

Ошибка номер три — принять рисунок за доказательство. Отрезки могут казаться равными или параллельными, но используй только данные условия и свойства фигур. Равные углы отмечены дугами, параллельность часто указана стрелками или словами.

Для самопроверки задай три вопроса: доказал ли я подобие, правильно ли сопоставил стороны, реалистичен ли ответ? Если искомая часть стороны оказалась больше целого отрезка без особой причины, вернись к пропорции.

Закрепить навык можно в бесплатном тренажёре личного кабинета «Просто Урок»: после каждого задания полезно объяснять себе, какой признак подобия сработал.

Что запомнить перед экзаменом

Подобие означает одинаковую форму и пропорциональные соответствующие стороны. На ОГЭ действуй по устойчивому плану: найди равные углы или пропорциональные стороны, докажи подобие, запиши вершины в верном порядке, составь пропорцию и проверь ответ.

1. Найди признак подобия
2. Запиши соответствие вершин
3. Составь пропорцию
4. Реши её и оцени результат

Формула отношения сторон работает в обе стороны: если k ≥ 1, первый треугольник не меньше второго по соответствующим сторонам; если 0 < k < 1, первый меньше. Площадь подобных фигур меняется в k² раз, но в базовой задаче ОГЭ чаще требуется именно длина стороны.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После каждого ответа назови признак подобия и пару соответствующих сторон — так правило превращается в навык.