Шпаргалка: проценты всех видов

Проценты без путаницы: что означает знак %

Проценты часто встречаются в задачах про скидки, оценки, банковские вклады и состав продуктов, но одна неверная операция сразу меняет ответ. В этой шпаргалке ты разберёшь основные виды задач и научишься быстро выбирать нужную формулу.

Процент — это одна сотая часть числа: 1% = 1/100. Значит, 7% — это 7/100, а 125% — это 125/100, то есть 1,25. Проценты можно переводить в дробь и десятичную запись:

\( 1\% = 0,01 \)
\( 25\% = 0,25 = ¼ \)
\( 75\% = 0,75 = ¾ \)
\( 200\% = 2 \)

Чтобы найти процент от числа, переведи процент в десятичную дробь и умножь число на неё. Например, 18% от 250: 250 × 0,18 = 45. Для устного счёта удобно помнить: 10% — это разделить на 10, 1% — разделить на 100, 5% — найти половину от 10%.

Если нужно найти число по его проценту, известную часть раздели на процент, записанный десятичной дробью. Так, если 30% числа равны 42, всё число равно 42 : 0,3 = 140.

Три главных типа задач

Сначала определи, что именно неизвестно. В задачах на процент от числа известно целое и процент: нужно найти часть. В задачах на нахождение числа по его проценту известна часть и её доля: нужно восстановить целое. В задачах на определение, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно разделить часть на целое.

Тип задачи	Формула	Пример
Процент от числа	часть = целое × p/100	20% от 80 = 16
Число по проценту	целое = часть : p/100	16 — это 20%, целое 80
Какой процент	p = часть : целое × 100%	16 от 80 — это 20%

В записи p — число процентов. Не забывай: 20% нельзя подставлять как 20 в умножение на число. Сначала получаем 20/100 = 0,2.

После разбора можно потренироваться в бесплатном личном кабинете Просто Урок: там удобно сразу проверить, какой тип задачи ты выбрал.

Как решать задачи на увеличение и уменьшение

Если величину увеличили на p%, новая величина составляет 100% + p% от исходной. Поэтому нужно умножить исходное число на коэффициент 1 + p/100. Если величину уменьшили на p%, остаётся 100% − p%, и коэффициент равен 1 − p/100.

Увеличение на 15%: × 1,15
Уменьшение на 15%: × 0,85
Цена 240 рублей со скидкой 25%: 240 × 0,75 = 180 рублей

Важная деталь: увеличение и последующее уменьшение на одинаковый процент не возвращают исходное число. Например, 100 увеличили на 20% и получили 120. Затем уменьшили 120 на 20%: 120 × 0,8 = 96. Второе действие считается уже от нового числа.

Чтобы найти процент изменения, используй формулу:

процент изменения = (новое − старое) : старое × 100%

Если результат отрицательный, величина уменьшилась. В задачах про скидку можно отдельно найти размер скидки, а потом вычесть его из первоначальной цены. Но коэффициент часто короче и надёжнее.

Для практики со скидками, наценками и изменением показателей можно открыть бесплатный тренажёр в личном кабинете Просто Урок и решать задания по одному типу.

Полный разбор задачи про скидку

Разберём типичный пример. Куртка стоила 3 200 рублей. В магазине объявили скидку 15%. Сколько рублей стоит куртка после скидки?

1. Скидка составляет 15% от первоначальной цены:
3200 × 0,15 = 480 рублей.
2. Вычитаем скидку из цены:
3200 − 480 = 2720 рублей.
Ответ: после скидки куртка стоит 2720 рублей.

Можно решить быстрее через оставшуюся долю. После скидки 15% остаётся 85%, то есть 0,85 первоначальной цены:

3200 × 0,85 = 2720 рублей.

Проверка здравого смысла тоже важна. Скидка должна быть меньше 3 200 рублей, а новая цена — меньше первоначальной. Число 480 действительно составляет 15%: 480 : 3200 × 100% = 15%.

Если в условии спрашивают не новую цену, а размер скидки, ответом будет 480 рублей. Если спрашивают, сколько процентов составляет новая цена от старой, ответ — 85%, а не 15%.

Проценты в сложных и экзаменационных задачах

В задачах ОГЭ и ЕГЭ проценты часто соединяются с пропорциями, таблицами и последовательными изменениями. Если величина меняется несколько раз, каждое действие выполняй от текущего значения. Общий коэффициент можно записать произведением коэффициентов:

после увеличения на 10% и уменьшения на 20%:
\( \times 1,1 \times 0,8 = \times 0,88 \)

Значит, итоговая величина составляет 88% исходной, то есть уменьшилась на 12%. Нельзя просто вычислить 10% − 20% и считать задачу решённой без проверки: такой ход иногда даёт правильный результат случайно, но не объясняет порядок действий.

Для пропорции удобно составить равенство. Если 4 тетради стоят 180 рублей, то 7 тетрадей стоят x рублей:

\( 4 : 180 = 7 : x \)
x = 180 × 7 : 4 = 315 рублей

Следи за единицами: рубли, килограммы, минуты должны быть согласованы. В текстовой задаче сначала выпиши, что принято за 100%. Это особенно важно в сравнении зарплат, площадей и численности классов.

На экзамене оставляй промежуточные вычисления. Так проще найти ошибку и проверить ответ приблизительной оценкой.

Что запомнить перед самостоятельной работой

Процент — это сотая часть числа. Для процента от числа умножай целое на p/100. Чтобы найти целое по его проценту, дели часть на p/100. Чтобы узнать, сколько процентов составляет часть, дели часть на целое и умножай на 100%.

При увеличении используй коэффициент 1 + p/100, при уменьшении — 1 − p/100. В последовательных изменениях каждый новый процент считается от текущей величины. Ответ проверяй: скидка должна уменьшать цену, наценка — увеличивать, а процент части от целого обычно не превышает 100%.

Перед решением подпиши «целое», «часть» и «процент», затем выбери тип задачи. Если условие длинное, разбей его на короткие действия и не округляй результат раньше времени.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме. После каждой попытки сравни не только ответ, но и выбранную формулу.