Шпаргалка: прогрессии

Разберись, какая перед тобой прогрессия

Если в задаче числа идут цепочкой, а способ их получения не виден, легко потерять время и перепутать формулы. Эта шпаргалка поможет быстро определить вид прогрессии, найти нужный член и сумму последовательности.

Прогрессия — это последовательность чисел, связанных одним правилом. В школьных задачах чаще всего встречаются два вида: арифметическая и геометрическая.

В арифметической прогрессии к каждому числу прибавляют одно и то же значение. Оно называется разностью и обозначается d. Например: 4; 7; 10; 13. Здесь d = 3.

В геометрической прогрессии каждый следующий член получают умножением на одно и то же число. Оно называется знаменателем и обозначается q. Например: 2; 6; 18; 54. Здесь q = 3.

Индекс показывает место числа в последовательности: a₁ — первый член, a₂ — второй, aₙ — член с номером n. Не путай номер члена и его значение.

Находи любой член арифметической прогрессии

Главная формула арифметической прогрессии связывает первый член, разность и номер нужного члена:

\( a_n = a_1 + d \times (n - 1) \)
a₁ — первый член
d — разность
n — номер искомого члена

Почему появляется n − 1? От первого члена до него нужно сделать не n переходов, а только n − 1. Например, чтобы попасть от a₁ к a₄, выполняются три шага: a₁ → a₂ → a₃ → a₄.

Разность можно найти по соседним членам: d = a₂ − a₁. Если d положительна, последовательность возрастает. Если d отрицательна, она убывает. При d = 0 все члены одинаковы.

Пример: a₁ = 5, d = 4. Тогда a₆ = 5 + 4 × (6 − 1) = 25. Не нужно выписывать все шесть чисел, если требуется только последний член.

Иногда известен не первый, а другой член. Тогда удобно использовать aₙ = aₖ + d × (n − k), где k — номер известного члена.

Потренировать такие подстановки можно в бесплатном личном кабинете Просто Урок.

Считай сумму арифметической прогрессии

Сумма первых n членов обозначается Sₙ. У неё есть две равносильные формулы:

\( S_n = (a_1 + a_n) \times n \div 2 \)
\( S_n = (2a_1 + d \times (n - 1)) \times n \div 2 \)

Первую формулу выбирай, если известны первый и последний члены. Вторую удобно применять, когда даны a₁, d и n. Важно не перепутать сумму с n-м членом: aₙ — одно число, Sₙ — результат сложения нескольких членов.

Идея первой формулы простая: первый и последний члены дают одну и ту же сумму, что второй и предпоследний. Поэтому среднее значение всех членов равно (a₁ + aₙ) ÷ 2, а сумма равна среднему, умноженному на количество членов.

Пример из школьной жизни: ученик откладывает 100 рублей в первую неделю, а каждую следующую неделю увеличивает сумму на 50 рублей. За 6 недель он отложит 100; 150; 200; 250; 300; 350 рублей, то есть S₆ = (100 + 350) × 6 ÷ 2 = 1350 рублей.

Если в условии сказано «сумма первых десяти членов», не подставляй n = 9: десять членов имеют последний индекс 10.

Работай с геометрической прогрессией

В геометрической прогрессии отношение соседних ненулевых членов постоянно:

\( q = a_2 \div a_1 \)
\( a_n = a_1 \times qⁿ^-^1 \)

Если q > 1 и a₁ > 0, члены обычно растут. При 0 < q < 1 они уменьшаются. Отрицательный q меняет знак каждого следующего члена: например, 8; −4; 2; −1. Здесь q = −½.

Сумма первых n членов при q ≠ 1 вычисляется так:

\( S_n = a_1 \times (qⁿ - 1) \div (q - 1) \)

Можно записать и эквивалентный вариант: Sₙ = a₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q). Выбирай тот, где меньше риск ошибиться со знаками.

Если q = 1, все члены равны a₁, поэтому Sₙ = a₁ × n. В задачах на проценты геометрическая прогрессия появляется, когда величина каждый раз изменяется на один и тот же процент. Рост на 5% означает умножение на 1,05, а уменьшение на 20% — на 0,8.

Сравни прогрессии и избегай ошибок

Перед решением выполни короткую проверку. Посмотри, что происходит между соседними членами: постоянная разность указывает на арифметическую прогрессию, постоянное отношение — на геометрическую.

Признак	Арифметическая	Геометрическая
Переход к следующему члену	Прибавить d	Умножить на q
Формула n-го члена	a₁ + d × (n − 1)	a₁ × qⁿ⁻¹
Что проверять	a₂ − a₁	a₂ ÷ a₁

Типичная ошибка в арифметической прогрессии — написать aₙ = a₁ + d × n. Так ты добавишь лишний шаг. В геометрической часто забывают степень n − 1 или принимают процент за множитель.

Ещё одна проблема — отрицательные числа. Записывай выражения со скобками: a₁ = −3, d = 5 означает −3 + 5 × (n − 1). При сложении дробей не округляй промежуточный результат.

На экзамене ОГЭ или ЕГЭ сначала выпиши известные данные и только потом формулу. Такой порядок помогает заметить, чего не хватает: первого члена, разности, знаменателя или номера.

После разбора полезно сразу решить несколько коротких заданий в бесплатной практике личного кабинета Просто Урок, чтобы формулы не остались только в памяти.

Что запомнить перед самостоятельной работой

Арифметическая прогрессия строится прибавлением одного и того же числа d. Её n-й член: aₙ = a₁ + d × (n − 1). Сумма: Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2.

Геометрическая прогрессия строится умножением на один и тот же множитель q. Её n-й член: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹. При q ≠ 1 сумма первых n членов: Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1).

Алгоритм решения такой: определи вид прогрессии, выпиши данные, выбери формулу, аккуратно подставь значения, проверь знак и номер члена. Если задача связана с процентами, сначала переведи процент в множитель.

Следующий шаг — зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете и реши 5 заданий по теме. После этого отметь, где возникла ошибка: в выборе вида прогрессии, формуле или вычислениях.

Так ты превратишь шпаргалку в рабочий инструмент, а не просто список формул.