Шпаргалка: квадратные уравнения

Что такое квадратное уравнение

Квадратные уравнения часто кажутся громоздкими: коэффициенты, дискриминант, два корня, а в конце легко потерять знак. Эта шпаргалка поможет разложить решение по шагам, быстро выбрать нужную формулу и проверить ответ без лишней путаницы.

Квадратным называют уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Число a называют первым коэффициентом, b — вторым, c — свободным членом. Если перед x² стоит не число, а выражение, сначала нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Например, уравнение 3x² − 5x + 2 = 0 уже записано в стандартном виде. Здесь a = 3, b = −5, c = 2. Важно сохранить знак каждого коэффициента: именно ошибка в b чаще всего меняет весь ответ.

Перед началом решения проверь, действительно ли уравнение квадратное. Иногда после упрощения x² исчезает, и тогда получается линейное уравнение. Если c = 0, удобно вынести x за скобки: такое уравнение решается быстрее, чем через дискриминант.

Дискриминант и количество корней

Для полного квадратного уравнения основной инструмент — дискриминант. Он показывает, сколько действительных корней получится. Формула выглядит так: D = b² − 4ac.

\( D = b^2 - 4ac \)
D > 0 → два различных корня
D = 0 → один корень
D < 0 → действительных корней нет

Если D ≥ 0, корни находят по формуле x = (−b ± √D) / 2a. Знак «±» означает, что нужно выполнить два вычисления: сначала взять плюс, затем минус. Не подставляй b без его знака: если b = −7, то −b = 7.

Условие	Что делаем	Ответ
D > 0	Вычисляем два значения x	x₁ и x₂
D = 0	Берём один корень	x = −b / 2a
D < 0	Останавливаемся в действительных числах	Корней нет

Если коэффициент a равен 1, уравнение называют приведённым: x² + bx + c = 0. Для него иногда удобно использовать теорему Виета: x₁ + x₂ = −b, а x₁ × x₂ = c.

Алгоритм решения по шагам

Удобно всегда придерживаться одного порядка. Сначала перенеси все слагаемые в левую часть и приведи уравнение к виду ax² + bx + c = 0. Затем выпиши коэффициенты, вычисли D, определи количество корней и только после этого подставляй данные в формулу.

Разберём пример полностью:

\( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \)
\( a = 2, b = -7, c = 3 \)
\( D = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 \)
\( x_1 = (-(-7) + \sqrt{2}5) / (2 \times 2) = \dfrac{7 + 5}{4} = 3 \)
\( x_2 = (-(-7) - \sqrt{2}5) / (2 \times 2) = \dfrac{7 - 5}{4} = ½ \)
Ответ: x₁ = 3, x₂ = ½

Проверка выполняется подстановкой. Для x = 3: 2 × 3² − 7 × 3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0. Для x = ½: 2 × ¼ − 7 × ½ + 3 = ½ − 3½ + 3 = 0. Оба значения подходят.

Если хочешь дополнительно повторить преобразования выражений и графики, загляни в шпаргалку по планиметрии: умение аккуратно работать с формулами пригодится и здесь.

Неполные уравнения и быстрые способы

Не каждое квадратное уравнение требует дискриминанта. Если b = 0, получаем ax² + c = 0. Перенеси c, раздели на a и извлеки квадратный корень. Например: 5x² − 45 = 0 → 5x² = 45 → x² = 9 → x = ±3.

Если c = 0, вынеси x: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому x = 0 или ax + b = 0. Например: 4x² − 12x = 0 → 4x(x − 3) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 3.

Иногда уравнение легко разложить на множители подбором. Для x² − 5x + 6 = 0 подходят числа 2 и 3: (x − 2)(x − 3) = 0. Значит, x = 2 или x = 3. Теорема Виета особенно удобна, если корни — небольшие целые числа.

При дробных коэффициентах сначала умножь всё уравнение на общий знаменатель. Так вычисления станут короче, а риск ошибиться уменьшится. Например, дробь ¾ можно убрать умножением обеих частей на 4.

После разбора полезно закрепить выбор способа на короткой тренировке в личном кабинете с бесплатной практикой.

Типичные ошибки и проверка

Первая распространённая ошибка — неверный знак в дискриминанте. В выражении 4ac знак берётся вместе с коэффициентами: если c отрицательное, произведение 4ac тоже может быть отрицательным. Вторая ошибка — забытый квадрат у b. При b = −4 нужно считать (−4)² = 16, а не −16.

Третья проблема — неправильный знаменатель. В формуле он равен 2a, а не 2 и не a. Четвёртая — потеря второго корня при знаке «±». Записывай вычисления по отдельным строкам, чтобы не смешивать x₁ и x₂.

Проверяй результат одним из двух способов: подстановкой в исходное уравнение или по теореме Виета. Для корней 3 и ½ сумма должна быть 3½, а произведение — 1½. Для уравнения 2x² − 7x + 3 = 0 сумма корней равна −b / a = 7 / 2, произведение — c / a = 3 / 2.

Если в задаче есть условие, например x ≥ 0, не забывай отфильтровать найденные значения. В прикладных задачах отрицательная длина, время или скорость обычно не подходят по смыслу.

Для системного повторения можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и сразу проверить, на каком шаге появляется ошибка.

Что запомнить

Главная схема такова: приведи уравнение к стандартному виду, выпиши a, b и c, найди D = b² − 4ac, определи количество корней и используй x = (−b ± √D) / 2a. Перед дискриминантом проверь, не является ли уравнение неполным или легко раскладываемым на множители.

Запомни особые случаи: при D > 0 есть два корня, при D = 0 — один, при D < 0 действительных корней нет. В неполном уравнении с c = 0 обязательно проверь корень x = 0, а при извлечении корня из квадрата ставь знак ±.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения делай короткую проверку подстановкой: так формула постепенно превращается в уверенный навык.