Шпаргалка: системы счисления

1. Что такое система счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую часто кажется набором непонятных правил: где-то появляются буквы, где-то нужно делить столбиком, а одна ошибка меняет весь ответ. На самом деле достаточно понять принцип разрядов и действовать по алгоритму. Эта шпаргалка поможет быстро повторить тему перед контрольной, ОГЭ или ЕГЭ и научиться проверять себя без угадывания.

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённых цифр и правил их значения. Самая привычная для нас десятичная система использует цифры от 0 до 9. Основание системы показывает, сколько разных цифр в ней используется и во сколько раз значение соседнего разряда больше.

В позиционной системе одна и та же цифра зависит от места. Например, в числе 352 цифра 3 означает 3 × 100, цифра 5 — 5 × 10, а цифра 2 — 2 × 1. Поэтому число можно представить как сумму разрядных слагаемых.

\( 352_1_0 = 3 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 2 \times 10^0 \)
\( 1011_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \)

В информатике особенно часто встречаются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. Их основания равны соответственно 2, 8, 10 и 16.

2. Разряды и допустимые цифры

В системе с основанием q используются цифры от 0 до q − 1. Например, в двоичной системе допустимы только 0 и 1, в восьмеричной — цифры от 0 до 7. Запись 128₈ неверна: цифры 8 в системе с основанием 8 не существует.

Для шестнадцатеричной системы цифр не хватает, поэтому после 9 используют латинские буквы: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Запись 2F₁₆ означает число, в котором F занимает разряд единиц.

Система	Основание	Допустимые символы	Пример
Двоичная	2	0, 1	101₂
Восьмеричная	8	0–7	347₈
Десятичная	10	0–9	529₁₀
Шестнадцатеричная	16	0–9, A–F	2F₁₆

Нижний индекс у числа показывает основание и помогает не перепутать, например, 10₂ и 10₁₀. Первое число равно двум, второе — десяти.

3. Перевод из любой системы в десятичную

Чтобы перевести целое число в десятичную систему, разложи его по степеням основания. Нумерация разрядов начинается справа с нуля. Крайняя правая цифра умножается на q⁰, следующая — на q¹, затем на q² и так далее.

Алгоритм простой: выпиши степени основания справа налево, умножь каждую цифру на соответствующую степень, затем сложи результаты. Степень с нулевым показателем равна 1, поэтому последний разряд не меняет цифру.

\( 1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \)
\( 1101_2 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_1_0 \)

Разберём пример полностью: переведём 2A₁₆ в десятичную систему. Буква A заменяется числом 10. У цифры 2 разряд с основанием 16 имеет степень 1, у A — степень 0.

\( 2A_1_6 = 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 \)
\( 2A_1_6 = 2 \times 16 + 10 \times 1 \)
\( 2A_1_6 = 32 + 10 = 42_1_0 \)

Такой способ работает для любого основания, не только для двоичного или шестнадцатеричного.

4. Перевод из десятичной системы

Для перевода целого десятичного числа в систему с основанием q используют последовательное деление на q. Делишь число, записываешь остаток, затем частное снова делишь на q. Когда частное станет нулём, читаешь остатки снизу вверх.

Рассмотрим перевод 25₁₀ в двоичную систему:

25 : 2 = 12, остаток 1
12 : 2 = 6, остаток 0
6 : 2 = 3, остаток 0
3 : 2 = 1, остаток 1
1 : 2 = 0, остаток 1
Снизу вверх: 11001₂
\( 25_1_0 = 11001_2 \)

Остаток всегда должен быть меньше основания. При делении на 8 возможны только остатки от 0 до 7. При делении на 16 остатки 10–15 записываются буквами A–F.

Дробная часть переводится иначе: её последовательно умножают на основание, а целые части результатов выписывают слева направо. В школьных заданиях обычно заранее указывают, сколько знаков после запятой нужно получить.

Для закрепления алгоритма можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решить несколько переводов с автоматической проверкой.

5. Быстрые связи между системами

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны удобно: 8 = 2³, а 16 = 2⁴. Поэтому двоичную запись можно группировать справа налево по три или по четыре символа.

Для перехода из двоичной в восьмеричную разбивай число на тройки, а для перехода в шестнадцатеричную — на четвёрки. Если слева не хватает цифр, добавь нули. Каждая группа заменяется одной цифрой новой системы.

101 110₂ → 5 6₈ → 56₈
0010 1111₂ → 2 F₁₆ → 2F₁₆

Обратный переход выполняется заменой каждой восьмеричной цифры на три двоичных символа, а каждой шестнадцатеричной — на четыре. Например, 7₈ = 111₂, а C₁₆ = 1100₂.

Типичные ошибки: читать остатки при делении сверху вниз, забывать нулевые разряды, путать основание и количество цифр, неправильно заменять буквы A–F. Если сомневаешься, переведи результат обратно в десятичную систему. Для экзамена полезны также тренировки по заданиям ОГЭ и вариантам ЕГЭ.

6. Что запомнить

Основание системы q определяет допустимые цифры: от 0 до q − 1. Перевод в десятичную систему выполняется через сумму цифр, умноженных на степени основания. Перевод из десятичной системы для целой части выполняется последовательным делением с чтением остатков снизу вверх.

Держи короткий алгоритм перед глазами: определить основание → проверить допустимые цифры → выбрать способ перевода → выполнить вычисления → проверить результат обратным переводом. Для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем используй группировку разрядов.

Не смешивай запись числа и его значение: 10₂ = 2₁₀, а 10₁₆ = 16₁₀. Именно основание, а не внешний вид записи, определяет результат.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так ты сразу увидишь, какое правило ещё требует повторения, и закрепишь тему практикой.