Степени с целым показателем

Что такое степень с целым показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n одинаковых множителей. Число a называют основанием, число n — показателем. Запись a⁵ читается как «a в пятой степени».

aⁿ = a · a · … · a (n множителей)

Пример: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Показатель — сколько раз основание умножается само на себя, поэтому запись заметно короче: 10³ вместо трёх множителей подряд.

Целый показатель — это все целые числа: натуральные (1, 2, 3, …), нуль и отрицательные (−1, −2, −3, …). Значит, к привычному умножению добавляются два новых случая — нулевой и отрицательный показатель. Оба разбираем ниже, потому что они постоянно встречаются в заданиях.

Пять свойств степеней

Свойства вытекают прямо из определения и заменяют громоздкие вычисления короткими действиями с показателями. Первые два — про умножение и деление.

\( aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ⁺ⁿ \)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 2³ · 2² = 2⁵ = 32. Проверь прямым счётом: 8 · 4 = 32. Сходится.

\( aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ \)

При делении показатели вычитаются: 3⁵ / 3² = 3³ = 27. Если результат вычитания отрицательный — это законно: 3² / 3⁵ = 3⁻³ = 1/27.

\( (aᵐ)ⁿ = aᵐ \cdot ⁿ \)

При возведении степени в степень показатели перемножаются: (5²)³ = 5⁶ = 15625.

\( (ab)ⁿ = aⁿ \cdot bⁿ, (\dfrac{a}{b})ⁿ = aⁿ / bⁿ \)

Степень произведения равна произведению степеней: 6³ = (2 · 3)³ = 2³ · 3³ = 8 · 27 = 216. Все пять свойств работают в обе стороны — и слева направо, и справа налево.

Важное условие: основания должны совпадать. Сложить 2³ и 3² через показатели нельзя — сначала приведи всё к одному основанию или считай по отдельности.

Отрицательный показатель

Минус в показателе «переворачивает» число в дробь. Само число при этом остаётся положительным.

\( a⁻ⁿ = \dfrac{1}{a}ⁿ \)

Примеры: 2⁻³ = 1/8; 5⁻² = 1/25; 10⁻² = 0,01 — во всех случаях получаются положительные числа.

С дробями ещё проще: знак минус у показателя меняет дробь на обратную и делает показатель положительным.

\( (\dfrac{a}{b})⁻ⁿ = (\dfrac{b}{a})ⁿ \)

1. Пример: вычисли (2/5)⁻².
2. Переворачиваем дробь: (5/2)².
3. Возводим в квадрат: 25/4 = 6,25.
4. Ответ: 6,25.

Свойства из предыдущего раздела работают и с отрицательными показателями: 3⁻² · 3⁴ = 3² = 9.

Нулевой показатель

Любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. Это не договорённость, а следствие свойства деления.

\( a^0 = 1, a \ne 0 \)

Почему так: aᵐ / aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰, а любое число, делённое само на себя, равно 1. Значит, и a⁰ = 1.

Примеры: 7⁰ = 1, (−5)⁰ = 1, (0,3)⁰ = 1. Единственное исключение — нуль: выражение 0⁰ смысла не имеет.

Типичные ошибки

Большинство потерь баллов на этой теме — одна из четырёх ситуаций. Проверь себя:

1. Перемножают показатели при умножении. Правильно складывать: 2³ · 2² = 2⁵ = 32, а не 2⁶ = 64.
2. Считают, что минус в показателе делает число отрицательным. На самом деле 2⁻³ = 1/8 — обычная положительная дробь.
3. Путают минус под степенью и перед ней: (−2)⁴ = 16, потому что возводится вместе с двойкой, а −2⁴ = −16, потому что степень относится только к двойке.
4. Возводят сумму в степень почленно: (a + b)² не равно a² + b². Скобку раскрывают по формуле квадрата суммы — это отдельная тема.

Тренировочное задание: разбор по шагам

Задача: упрости выражение (a⁵ · a⁻²) / a и найди его значение при a = 3.

1. В числителе складываем показатели: a⁵ · a⁻² = a³.
2. Делим на a, то есть вычитаем показатель 1: a³ / a = a².
3. Подставляем a = 3: 3² = 9.
4. Ответ: 9.

Проверка прикидкой: возьми a = 2 и посчитай исходное выражение руками, без свойств. Получится 4 — и это ровно 2². Значит, преобразование верное.

Степени — фундамент для целых разделов алгебры. Квадратный корень — это степень с показателем 1/2, поэтому дальше пригодится статья про квадратные корни и иррациональные выражения. На тех же свойствах строятся показательные уравнения, а логарифмы — их естественное продолжение.

Пять свойств, аккуратность со знаками и привычка проверять ответ прикидкой — этого достаточно, чтобы степени стали лёгкими баллами. А если нужна основа ещё прочнее, разберись в теме спокойно на Просто Уроке: любую тему объяснят по шагам.