Квадратные корни и иррациональные выражения

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Число под знаком радикала называют подкоренным выражением.

√a = b, если b² = a и b ≥ 0

Примеры: √36 = 6, потому что 6² = 36; √0,81 = 0,9; √(4/9) = 2/3. Слово «арифметический» как раз и подчёркивает неотрицательность результата.

Главная ловушка темы: уравнение x² = 16 имеет два корня, 4 и −4, но запись √16 означает только 4. Арифметический корень — всегда одно неотрицательное число.

Извлекается корень не из всех чисел: √2 нельзя записать дробью — это иррациональное число с бесконечной непериодической десятичной записью. Выражения с такими числами называют иррациональными. Полезно помнить квадраты хотя бы до 15² = 225 и 25² = 625: они встречаются в каждом задании.

Свойства корней

Свойства корней похожи на правила для степеней — корень и есть степень с дробным показателем.

\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)

Корень из произведения равен произведению корней: √64 · √9 = √576 = 24, а проще сразу — 8 · 3 = 24.

\( \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \sqrt{a} / \sqrt{b} \)

Корень из дроби равен отношению корней: √(49/4) = √49 / √4 = 7/2 = 3,5.

\( (\sqrt{a})^2 = a \)

Возведение корня в квадрат возвращает подкоренное число. Важное дополнение: √(a²) = |a| — корень из квадрата равен модулю, и это спасает при отрицательной переменной.

Вынесение множителя из-под корня

Главный приём темы: если под корнем спрятался точный квадрат, множитель выносится наружу. Алгоритм из трёх шагов.

1. Разложи подкоренное число на множители — ищи точные квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…
2. Извлеки корень из квадрата.
3. Вынеси множитель за знак корня.

Пример по шагам: упрости √72.

1. Раскладываем, выделяя наибольший точный квадрат: 72 = 36 · 2.
2. Извлекаем корень из 36: √36 = 6.
3. Выносим: √72 = 6√2.

Так же упрощаются остальные: √98 = 7√2, √27 = 3√3, √125 = 5√5. Чем больше квадратов ты помнишь, тем быстрее видишь разложение.

Приём работает и в обратную сторону — множитель можно внести под корень: 3√5 = √(9 · 5) = √45. Это нужно, например, для сравнения чисел: что больше, 2√6 или √20? Вносим двойку: 2√6 = √24, а √24 больше √20 — ответ очевиден.

Упрощение иррациональных выражений

Упрощение строится на вынесении множителя и свойствах. Три типовых приёма.

Приведение подобных. Корни с одинаковым подкоренным числом складываются как подобные слагаемые: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3.

Сокращённое умножение. Скобки с корнями раскрываются по тем же формулам, что и обычные: (√5 − √3)(√5 + √3) = (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2.

Очищение знаменателя. Чтобы убрать корень из знаменателя, умножь числитель и знаменатель на него: 1/√2 = √2/2. Дробь не меняется, а считать удобнее.

Задание по шагам: вычисли (√12 − √3) · √3.

1. Раскрываем скобку: √12 · √3 − √3 · √3.
2. Перемножаем корни: √36 − 3.
3. Считаем: 6 − 3 = 3.
4. Ответ: 3.

Типичные ошибки

Чаще всего баллы теряют в четырёх ситуациях. Сверься со списком:

1. Корень из суммы не равен сумме корней: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 7. Под корнем сначала считается всё выражение целиком.
2. Забывают модуль: √(a²) = |a|, а не просто a. При a = −5 получаем √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|.
3. Пишут два ответа ±: у арифметического корня значение одно, всегда неотрицательное. Два корня бывают у уравнения x² = a, но не у знака радикала.
4. Останавливаются на полпути: √200 = 2√50 — не упрощение, ведь 50 = 25 · 2. Доводим до конца: √200 = 10√2.

Квадратный корень — это степень с показателем 1/2, поэтому свойства корней и степеней с целым показателем — одна и та же механика. График y = √x и его родственники разобраны в статье про графики функций, а неравенства, которые решаются через параболу, — в материале про метод интервалов.

Определение, три свойства и вынесение множителя — весь каркас темы. Освой эти шаги, и иррациональные выражения перестанут пугать. А если хочется разобраться спокойно и по шагам, заходи на Просто Урок — объясним и покажем на задачах.