Теорема Пифагора: простое объяснение и задачи

Формулировка и формула

Теорема Пифагора описывает прямоугольный треугольник — тот, у которого один угол равен 90°. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой: она всегда самая длинная. Две стороны, которые образуют прямой угол, называют катетами.

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

Читается так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Квадрат — это число, умноженное само на себя: 5² = 5 · 5 = 25. Буквой c обозначают гипотенузу, a и b — катеты.

Смысл в том, что стороны прямоугольного треугольника связаны жёстко: зная любые две, третью вычисляешь одной подстановкой в формулу. Поэтому теорема встречается повсюду — от учебника до строительства.

Как найти гипотенузу

Если известны оба катета, складываем их квадраты и извлекаем корень.

1. Пример: катеты равны 3 и 4. Найди гипотенузу.
2. Возводим катеты в квадрат: 3² = 9 и 4² = 16.
3. Складываем: 9 + 16 = 25.
4. Извлекаем корень: c = √25 = 5.
5. Ответ: 5.

Проверь ответ прикидкой: гипотенуза должна быть длиннее любого катета, но короче их суммы. Число 5 больше, чем 4, и меньше, чем 3 + 4 = 7, — всё сходится.

Как найти катет

Обратная задача: известны гипотенуза и один катет, ищем второй. Теперь из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета и извлекаем корень.

\( b = \sqrt{c^2 - a^2} \)

1. Пример: гипотенуза равна 13, один катет 5. Найди второй катет.
2. Возводим в квадрат: 13² = 169 и 5² = 25.
3. Вычитаем: 169 − 25 = 144.
4. Извлекаем корень: b = √144 = 12.
5. Ответ: 12.

Ключевая деталь: при поиске катета мы вычитаем, а не прибавляем. Если ошибиться со знаком, получится число больше гипотенузы — а катет не может быть длиннее самой большой стороны треугольника.

Пифагоровы тройки: полезно запомнить

Иногда корень извлекается ровно, и все три стороны получаются целыми числами. Такие комбинации называют пифагоровыми тройками. Три основные стоит выучить: 3-4-5, 5-12-13 и 8-15-17.

Каждую тройку можно умножать на одно и то же число: из 3-4-5 получаются 6-8-10, 9-12-15 и так далее. Увидел в задаче катеты 6 и 8 — смело пиши гипотенузу 10 без вычислений. На экзамене такие находки экономят драгоценные минуты.

Где это применяется

Экран телефона, телевизор или лист бумаги — прямоугольники, а их диагональ считается именно по теореме Пифагора. Экран со сторонами 30 и 40 сантиметров имеет диагональ 50: это тройка 3-4-5, умноженная на 10.

Лестница, прислонённая к стене, образует прямоугольный треугольник: стена и земля — катеты, лестница — гипотенуза. Зная высоту стены и расстояние от её основания, легко вычислить, какой длины лестница нужна.

Третий пример — координатная плоскость: разности координат двух точек по осям — это катеты, а расстояние между ними — гипотенуза. На этом строится формула расстояния между точками, которой пользуются дальше во всей геометрии. Краткая выжимка формул по всем темам живёт в справочнике теории — держи его под рукой.

Типичные ошибки

• Складывать катеты вместо их квадратов: 3 + 4 = 7 — это не гипотенуза.
• Применять теорему в треугольнике без прямого угла. Работает она только в прямоугольном.
• Прибавлять вместо вычитания, когда ищешь катет, — и получать невозможное число.
• Забыть извлечь корень и записать в ответ 25 вместо 5.

Теорема Пифагора — тема, где баллы теряют не на сложности, а на невнимательности: перепутанный знак, пропущенный корень, лишнее сложение. Дальше по алгебре пригодятся квадратные уравнения — корни и степени нужны для вычислений, а по экзамену — план подготовки к ОГЭ: геометрия обязательна для сдачи.

И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.