Тригонометрические уравнения

Что такое простейшее тригонометрическое уравнение

Простейшие тригонометрические уравнения — это sin x = a, cos x = a и tg x = a. Сложные уравнения сводятся к простейшим преобразованиями.

Корней обычно бесконечно много: тригонометрические функции периодичны. Поэтому ответ записывают не числом, а серией корней — семейством значений с целым параметром n.

серия корней: x = x₀ + 2πn, n ∈ ℤ

Например, sin x = 0,5 верно при x = 30°, 150°, 390°, 510°… Все эти корни описываются двумя сериями.

Синус, косинус и тангенс: формулы решений

Синус. Прямая y = a при |a| ≤ 1 пересекает окружность в двух точках — отсюда две серии:

sin x = a: x = arcsin a + 2πn или x = π − arcsin a + 2πn

Разбор по шагам: реши sin x = 1/2.

1. arcsin (1/2) = π/6.
2. Первая серия: x = π/6 + 2πn.
3. Вторая: x = π − π/6 = 5π/6 + 2πn.
4. Ответ: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ.

Косинус. Точки симметричны относительно горизонтальной оси, поэтому формула со знаком «±»:

\( \cos x = a: x = \pm \arccos a + 2\pi n \)

Тангенс. Серия одна — решения повторяются через пол-оборота:

\( \tg x = a: x = \arctg a + \pi n \)

Если |a| > 1, у sin x = a и cos x = a корней нет — значения по модулю не превышают единицу. У тангенса ограничения нет.

Частные случаи, которые экономят время

Четыре ситуации проще запомнить сразу:

\( \sin x = 0 \to x = \pi n \)

\( \cos x = 0 \to x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n \)

sin x = ±1 → x = π/2 + 2πn или x = −π/2 + 2πn

cos x = ±1 → x = 2πn или x = π + 2πn

При sin x = 0 и cos x = 0 шаг равен π, а не 2π — за полный оборот таких точек две. Типичное место потери корней.

Отбор корней на отрезке

На экзамене нужны не все корни, а те, что лежат в заданном отрезке. Способов два.

Круг. Отметь серии точками на окружности и выдели дугу отрезка. Что попало на дугу — то и ответ. Быстро и наглядно.

Перебор по n. Подставляй в серию целые n и оставляй значения внутри отрезка. Медленнее, зато надёжнее: перепутать четверть невозможно.

проверка попадания: a ≤ x₀ + 2πn ≤ b

Разбор по шагам: отберём корни sin x = 1/2 на отрезке [0; 2π].

1. Серии: π/6 + 2πn и 5π/6 + 2πn.
2. Первая серия: n = 0 даёт π/6 — попадает; n = 1 даёт 13π/6 — за границей.
3. Вторая серия: n = 0 даёт 5π/6 — попадает; дальше снова за границей.
4. Ответ: π/6; 5π/6.

Разбор типового задания ЕГЭ

Задание. а) Решите уравнение sin x = 1/2. б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Пункт а) — по алгоритму выше: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ.

Пункт б) — перебор по n. Границы удобнее видеть в шестых долях: 2π = 12π/6 и 7π/2 = 21π/6.

1. Серия π/6 + 2πn: n = 0 — до отрезка; n = 1 даёт 13π/6 — попадает; n = 2 — за границей.
2. Серия 5π/6 + 2πn: n = 0 — до отрезка; n = 1 даёт 17π/6 — попадает; n = 2 — за границей.
3. Ответ: а) x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ; б) 13π/6; 17π/6.

В профильном ЕГЭ это задание с развёрнутым решением. Формат и нумерация заданий меняются — требования к своему году уточните на официальном сайте ФИПИ.

Ловушка: потерянная серия корней

Самая частая ошибка — записать только одну серию. У sin x = 1/2 на окружности два «якоря», у cos x = 1/2 тоже. Забыл второй — потерял половину ответа и балл.

Вторая ошибка — неверный шаг. Если решения повторяются через пол-оборота, шаг равен π, а не 2π.

Третья — деление обеих частей на cos x или sin x: так теряются решения, где множитель равен нулю. Правильно — выносить общий множитель.

И привычка: подставь по одному корню из каждой серии в исходное уравнение — полминуты проверки подтверждают, что серии верны.

Тригонометрические уравнения опираются на базовые формулы тригонометрии: окружность, тождества, таблицу значений. Повторишь базу — и уравнения решатся сами. Идея обратной функции — arcsin, arccos, arctg — устроена так же, как логарифм по отношению к степени.

По духу это близко к показательным уравнениям: сначала приведение к простейшему виду, потом серия ответов. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.