Тригонометрия: базовые формулы

Единичная окружность: карта тригонометрии

Возьми окружность радиуса 1 с центром в начале координат — это единичная окружность. Отметь точку, которая получается поворотом точки (1; 0) на угол α против часовой стрелки. Её координаты — сердце всей темы: по горизонтали косинус, по вертикали синус.

точка поворота на угол α: (cos α; sin α)

Такая карта превращает формулы в картинки: не нужно вспоминать, чему равен sin 150°, — достаточно понять, где лежит угол. В градусах и радианах связка короткая:

180° = π радиан

Отсюда автоматически: 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6 — на экзаменах чаще пишут радианы, так что перевод должен быть на автомате.

Синус, косинус и тангенс

Определения умещаются в три строки:

cos α — координата x точки на окружности

sin α — координата y этой же точки

\( \tg \alpha = \sin \dfrac{\alpha}{\cos} \alpha , \ctg \alpha = \cos \dfrac{\alpha}{\sin} \alpha \)

Тангенс — «наклон» точки. Косинус стоит в знаменателе, поэтому там, где он равен нулю, тангенс не существует: это углы 90° и 270° (π/2 и 3π/2).

Проверь на угле 90°: точка поворота — (0; 1), значит cos 90° = 0, sin 90° = 1, а tg 90° не существует.

Таблица значений без зубрёжки

Таблицу значений можно не учить, а восстанавливать за минуту. Синусы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°:

\( \sin : 0; \dfrac{1}{2}; \sqrt{2}/2; \sqrt{3}/2; 1 \)

В числителе — корни из чисел 0, 1, 2, 3, 4, делённые на 2: от √0/2 = 0 до √4/2 = 1. Косинусы — та же цепочка справа налево: от cos 0° = 1 до cos 90° = 0. Тангенс — их отношение: 0, √3/3, 1, √3, а при 90° — «не существует».

Проверь на окружности: точка угла 45° лежит на биссектрисе четверти, координаты равны, и их квадраты в сумме дают 1 — значит каждая по √2/2.

Основные тождества

Главное тождество — теорема Пифагора на окружности: точка (cos α; sin α) отстоит от центра на 1, значит сумма квадратов координат равна 1:

\( \sin ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1 \)

Разбор по шагам: известно, что cos α = 0,6 и α — острый угол. Найдём sin α.

1. Возводим косинус в квадрат: 0,6² = 0,36.
2. Вычитаем из единицы: 1 − 0,36 = 0,64.
3. Извлекаем корень: sin α = 0,8 — в первой четверти синус положителен.
4. Ответ: 0,8.

Ещё два тождества для ЕГЭ:

\( 1 + \tg ^2\alpha = \dfrac{1}{\cos ^2}\alpha \)

\( \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 \)

Первое верно при cos α ≠ 0, второе — при sin α ≠ 0. Оба выводятся из определения тангенса, поэтому легко восстанавливаются по памяти.

Формулы приведения

Формулы приведения сводят большие углы к острым. Вместо длинного списка — два правила.

Правило функции: если в записи угла есть 90° ± α или 270° ± α, функция меняется на кофункцию — синус на косинус, тангенс на котангенс. При 180° ± α и 360° ± α — остаётся той же.

Правило знака: приведение сохраняет знак исходной функции в той четверти, куда попал угол.

Разбор по шагам: вычисли sin 150°.

1. Представляем угол: 150° = 180° − 30°.
2. Функция при 180° не меняется: остаётся синус угла 30°.
3. Знак: 150° лежит во второй четверти, синус там положителен.
4. sin 150° = sin 30° = 0,5.

\( \sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha \)

\( \cos (180^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha \)

\( \sin (90^\circ - \alpha ) = \cos \alpha \)

Эти три формулы покрывают большинство случаев, остальные выводятся теми же правилами.

Ловушка: знак по четвертям

Самая обидная ошибка — потерять знак при извлечении корня. Из тождества следует лишь модуль: |sin α| = 0,8. Какой знак выбрать — решает четверть.

Знаки запоминаются картинкой: в первой четверти положительно всё, во второй — только синус, в третьей — тангенс и котангенс, в четвёртой — только косинус.

II четверть: sin α > 0, cos α < 0

Пример: cos α = −0,6 во второй четверти. Тогда sin²α = 0,64 и sin α = +0,8 — синус во второй четверти положителен.

Пригодится чётность: cos(−α) = cos α, sin(−α) = −sin α — знаки для отрицательных углов не нужно учить отдельно.

Тригонометрия — сквозная тема: на ОГЭ она встречается в геометрических задачах, на ЕГЭ — в выражениях, уравнениях и производной. Следующий шаг — научиться решать тригонометрические уравнения, где формулы работают на практике. А в производной и её геометрическом смысле ты снова встретишь тангенс — как угол наклона касательной.

База сильнее зубрёжки: окружность, три определения и два правила приведения вмещают всю тему. Повтори, как читать графики функций, — и увидишь синус с косинусом волнами. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.