Окружность: касательные и хорды на ОГЭ

Разберись, как устроены касательные и хорды

На ОГЭ задачи с окружностью часто выглядят запутанно: много точек, радиусов и непонятных линий, а времени на рисунок мало. Разберём признаки и формулы так, чтобы ты быстро находил нужный угол или длину и уверенно переходил к решению.

Окружность — это граница круга. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней, называется радиусом. Все радиусы одной окружности равны. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Самая длинная хорда проходит через центр и называется диаметром.

Диаметр обозначают обычно d, радиус — r. Между ними простая связь: d = 2r. Если в условии дан диаметр 14, радиус равен 7. Если дан радиус 5, диаметр равен 10.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. Эта точка называется точкой касания. Важно отличать касательную от секущей: секущая пересекает окружность в двух точках.

Находи прямые углы и равные отрезки

Главное свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому угол между радиусом и касательной равен 90°. Это один из самых частых шагов в заданиях ОГЭ.

Если из одной внешней точки к окружности проведены две касательные, их отрезки до точек касания равны. Например, если PA и PB — касательные, то PA = PB. Такое равенство часто помогает составить короткое уравнение.

У хорды есть другое важное свойство. Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам. Если OM перпендикулярен AB, то AM = MB. Обратное утверждение тоже работает: если радиус проходит через середину хорды, он перпендикулярен хорде.

Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны. Чем ближе хорда к центру, тем она длиннее. Диаметр — хорда, которая находится от центра на расстоянии 0, поэтому она самая длинная.

В бесплатной практике в личном кабинете «Просто Урок» можно отдельно потренировать признаки касательной и хорды.

Используй углы, связанные с окружностью

Центральный угол опирается на дугу и равен её градусной мере. Вписанный угол с вершиной на окружности равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, если дуга AB имеет меру 80°, вписанный угол ACB, опирающийся на эту дугу, равен 40°.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Этим свойством удобно пользоваться, когда на рисунке есть несколько точек окружности и нужно доказать равенство углов.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Это теорема Фалеса. Увидел в треугольнике сторону, которая является диаметром, — проверь угол напротив неё: он прямой.

Объект	Главное правило
Радиус и касательная	Перпендикулярны в точке касания
Две касательные из одной точки	Их отрезки равны
Центральный угол	Равен дуге
Вписанный угол	Равен половине дуги
Угол, опирающийся на диаметр	Равен 90°

Не смешивай центральный и вписанный углы: у них одинаковая дуга, но вписанный угол в два раза меньше.

Реши типовую задачу по шагам

Рассмотрим задачу формата ОГЭ. Из точки A к окружности проведена касательная AB, B — точка касания. Центр окружности — O, радиус OB равен 6. Найдите длину отрезка AO, если AB = 8.

Сначала ищем геометрический факт, а не подставляем числа. Радиус OB перпендикулярен касательной AB. Значит, треугольник AOB прямоугольный, прямой угол расположен при вершине B.

Отрезок AO лежит напротив прямого угла, поэтому является гипотенузой. Используем теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

OB ⟂ AB
\( OB = 6, AB = 8 \)
\( AO^2 = OB^2 + AB^2 \)
\( AO^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( AO = \sqrt{1}00 = 10 \)
Ответ: 10

Проверка полезна всегда: гипотенуза должна быть больше каждого катета. Число 10 подходит, а результат меньше 8 или 6 сразу показал бы ошибку.

Если хочешь закрепить именно такой алгоритм, в личном кабинете «Просто Урок» есть бесплатные задания с пошаговой тренировкой.

Не теряй баллы на типичных ошибках

Первая ошибка — считать любую линию, касающуюся окружности на рисунке, касательной. Проверяй условие: у касательной должна быть одна общая точка с окружностью. Если линия проходит через окружность, это секущая.

Вторая ошибка — забывать, к какой точке относится радиус. Перпендикулярность действует только между радиусом и касательной в точке касания. Нельзя автоматически объявлять прямым любой угол, где встречаются радиус и другая прямая.

Третья ошибка — путать дугу и угол. Вписанный угол равен половине дуги, а центральный угол равен дуге полностью. Перед вычислением подпиши, где находится вершина угла.

Четвёртая ошибка — использовать теорему Пифагора без прямого угла. Сначала докажи, что треугольник прямоугольный: радиус и касательная перпендикулярны, либо угол опирается на диаметр.

И ещё: не считай рисунок точным чертежом. Длина и угол определяются условием и теоремами, а не тем, как они выглядят на экране.

Запомни алгоритм и сделай следующий шаг

Перед решением задачи об окружности действуй по порядку. Найди центр и точку касания. Проведи или выдели радиус. Проверь, есть ли прямой угол. Затем реши, какое свойство подходит: равенство касательных, деление хорды пополам, угол по дуге или теорема Пифагора.

Короткая выжимка: радиус в точку касания перпендикулярен касательной; две касательные из одной точки равны; перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам; вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

На ОГЭ сначала выпиши известные величины и только потом составляй равенство. Такой порядок снижает риск перепутать радиус с диаметром или применить формулу не к той фигуре.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После этого отметь, на каком шаге чаще возникает ошибка, и повтори именно это свойство.