Задачи на совместную работу

Как понять задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу часто пугают не вычислениями, а непривычными словами: «производительность», «часть работы», «выполнено за несколько часов». Разберём понятный алгоритм, чтобы ты мог быстро переводить условие на язык действий и уверенно решать такие задачи.

Главная идея проста: у каждого исполнителя есть скорость работы, то есть какая часть всей работы выполняется за единицу времени. Если один ученик решает задачу за 6 минут, его производительность равна 1⁄6 задачи в минуту. Если второй решает её за 3 минуты, его производительность равна 1⁄3.

При совместной работе скорости складываются. Поэтому сначала нужно найти производительность каждого участника, затем сложить её и только после этого вычислять время. Не складывай время выполнения: это одна из самых частых ошибок.

Как составить рабочую таблицу

Таблица помогает не потерять данные и увидеть структуру решения. В первой строке запиши исполнителя, во второй — время его самостоятельной работы, в третьей — производительность. Единицы времени должны совпадать: часы нельзя складывать с минутами без перевода.

Исполнитель	Время на всю работу	Производительность
Первый	t₁	1⁄t₁
Второй	t₂	1⁄t₂
Вместе	t	1⁄t₁ + 1⁄t₂

Если работают трое, добавь третью скорость: 1⁄t₃. Общая производительность будет равна 1⁄t₁ + 1⁄t₂ + 1⁄t₃. После сложения используй связь «работа = производительность × время».

Удобная схема выглядит так: сначала определи всю работу, затем скорость каждого, потом общую скорость, а в конце найди неизвестное время или объём. Бесплатно потренировать именно этот порядок можно в личном кабинете «Просто Урок».

Как решить задачу по шагам

Рассмотрим типичный пример. Первый насос наполняет бассейн за 6 часов, а второй — за 3 часа. За сколько часов они наполнят бассейн вместе?

Вся работа = 1.
Производительность первого насоса: 1⁄6 бассейна в час.
Производительность второго насоса: 1⁄3 бассейна в час.
Общая производительность: 1⁄6 + 1⁄3 = 1⁄6 + 2⁄6 = 3⁄6 = 1⁄2.
Время совместной работы: 1 : 1⁄2 = 2 часа.
Ответ: 2 часа.

Проверка обязательна. За 2 часа первый насос заполнит 2 · 1⁄6 = 1⁄3 бассейна, второй — 2 · 1⁄3 = 2⁄3. Вместе получится 1⁄3 + 2⁄3 = 1, то есть весь бассейн.

Заметь: совместное время получилось меньше 3 часов — времени самого быстрого насоса. Это логично: объединение усилий не может замедлить работу.

Как решать задачи с неполной работой

Иногда один человек начинает работу, а второй подключается позже. Тогда удобно разделить решение на этапы. Для каждого этапа запиши, сколько работы выполнено: производительность умножь на время.

Например, мастер делает заказ за 8 часов, ученик — за 12 часов. Мастер работал один 2 часа, затем они продолжили вместе. За первые 2 часа мастер выполнил 2 · 1⁄8 = 1⁄4 работы. Осталось 1 − 1⁄4 = 3⁄4.

Их общая производительность равна 1⁄8 + 1⁄12 = 3⁄24 + 2⁄24 = 5⁄24 работы в час. Время на оставшуюся часть: 3⁄4 : 5⁄24 = 3⁄4 × 24⁄5 = 18⁄5 = 3,6 часа, то есть 3 часа 36 минут.

Если в условии сказано, что один исполнитель ушёл, снова выдели этапы. Не пытайся записать всё одной дробью без пояснений: при таком подходе легко перепутать выполненную и оставшуюся часть.

В экзаменационных задачах ОГЭ и ЕГЭ особенно важна запись единиц измерения. Ответ «3,6» без пояснения может быть непонятен, поэтому укажи: 3,6 часа или 3 часа 36 минут.

Какие ошибки встречаются чаще всего

Первая ошибка — сложить времена. Если один рабочий выполняет заказ за 4 часа, а второй за 6, выражение 4 + 6 не даёт время совместной работы. Складываются производительности: 1⁄4 + 1⁄6.

Вторая ошибка — забыть про единицу всей работы. Число 1 не означает один предмет или один литр. Это условная полная работа, которую можно разделить на части.

Третья ошибка — не привести дроби к общему знаменателю. Например, 1⁄4 + 1⁄6 = 3⁄12 + 2⁄12 = 5⁄12, а не 2⁄10.

Четвёртая ошибка — не проверить результат. Совместное время должно быть меньше времени самого быстрого исполнителя, если оба работают полный этап. Если получилось наоборот, проверь знак, дроби и перевод минут в часы.

Перед отправкой ответа задай себе три вопроса: что считается всей работой, какая скорость у каждого, совпадают ли единицы времени? Такая короткая проверка часто спасает решение.

В тренажёре «Просто Урок» можно закрепить навык на разных формулировках: про рабочих, трубы, принтеры и школьные проекты.

Что запомнить и что сделать дальше

В задачах на совместную работу не складывают времена. Сначала находят производительность каждого исполнителя: 1⁄t. Затем складывают скорости, определяют общую производительность и используют формулу «работа = производительность × время».

Если работа выполняется по этапам, каждый этап считай отдельно. Найди выполненную часть, вычти её из 1 и только потом вычисляй время на остаток. Обязательно следи за единицами: 60 минут = 1 час.

Короткая памятка: вся работа → скорость каждого → общая скорость → неизвестное время → проверка. При совместной работе результат обычно быстрее самого быстрого участника.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После каждого ответа сверяй не только число, но и ход рассуждений.