Задание 13: причины и следствия

Задание 13: причины и следствия

В задачах на причины и следствия легко потерять баллы не из-за сложной математики, а из-за неверной логики: перепутать условие и результат, выбрать похожую формулу или не заметить ограничение. Научись видеть цепочку событий и переводить её на язык уравнений — тогда решение станет последовательным, а проверка ответа займёт меньше времени. Эта тема встречается в задачах ЕГЭ по математике и требует не столько длинных вычислений, сколько внимательного чтения.

Причина — это то, что происходит сначала и меняет ситуацию. Следствие — результат этого изменения. Например, увеличение скорости приводит к уменьшению времени движения при постоянном расстоянии. В математической модели важно понять, какая величина считается исходной, а какая зависит от неё.

Полезная привычка: перед вычислениями перескажи условие одной фразой: «Если произошло …, то изменилось …». Такая формулировка часто сразу подсказывает нужную зависимость.

Как построить причинно-следственную цепочку

Решай задачу по шагам. Сначала выпиши известные величины и единицы измерения. Затем определи исходное состояние: начальную цену, скорость, количество, площадь или объём. После этого зафиксируй изменение: величина выросла, уменьшилась, стала в несколько раз больше или изменилась на определённый процент.

Не смешивай «на» и «в». Увеличить число на 20% — значит умножить его на 1,2. Увеличить в 20% невозможно в обычной формулировке: обычно имеется в виду увеличение на 20%. Уменьшение на ¾ оставляет ¼ исходного значения, а уменьшение в ¾ раза означает умножение на ¾.

Последний шаг — сформулировать следствие и проверить здравый смысл результата. Если после скидки цена стала больше начальной, где-то нарушена цепочка рассуждений.

Проценты, пропорции и зависимости

В заданиях 13 часто используются проценты и пропорциональные зависимости. Если известна начальная величина a, то после увеличения на p% получаем a · (1 + p/100). После уменьшения на p% получаем a · (1 − p/100). Эти записи удобны, потому что сразу показывают причину: множитель изменения.

Изменение	Множитель	Что происходит
Увеличение на 25%	1,25	Добавляется четверть исходного
Уменьшение на 25%	0,75	Остаётся ¾ исходного
Увеличение в 3 раза	3	Величина становится втрое больше
Уменьшение в 3 раза	1/3	Величина становится втрое меньше

Для прямой пропорциональности отношение величин постоянно: y/x = k. Для обратной пропорциональности постоянным остаётся произведение: x · y = k. Например, при фиксированном расстоянии скорость и время связаны обратно: v · t = s.

Если изменение происходит дважды, перемножай множители, а не складывай проценты. Так сохраняется правильная причина каждого шага.

Разобранный пример

Рассмотрим задачу: цена товара сначала увеличилась на 20%, а затем уменьшилась на 20%. На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Пусть первоначальная цена равна 100.
После увеличения: 100 · 1,2 = 120.
После уменьшения: 120 · 0,8 = 96.
Изменение: 96 − 100 = −4.
Ответ: цена уменьшилась на 4%.

Почему нельзя сказать, что изменения взаимно уничтожились? Вторые 20% считаются уже не от 100, а от 120. Причина второго действия имеет другую исходную величину. В общем виде итоговый множитель равен 1,2 · 0,8 = 0,96, то есть осталось 96% первоначального значения.

Проверка показывает: после роста и такого же по проценту снижения результат должен быть меньше исходного, потому что 20% от увеличенной величины больше, чем 20% от начальной. Этот приём подходит для цен, площадей, объёмов и других величин.

Для бесплатной практики можно открыть личный кабинет и решить похожую задачу сразу после разбора.

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — считать одинаковые проценты симметричными. Как показывает пример, база меняется после первого действия. Вторая — путать разность и отношение. Если спрашивают, на сколько процентов изменилась величина, используй формулу: (новая − старая) / старая × 100%.

Третья ошибка — не переводить смешанные числа и дроби в удобную форму. Число 2⅓ равно 7/3, а ¾ — это 0,75. Четвёртая — забывать единицы: площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому при увеличении стороны в 2 раза площадь возрастает в 4 раза, а не в 2.

Перед ответом задай три вопроса: какая величина была сначала? Как именно она изменилась? От какой величины считается процент? Если условие содержит корень, проверь область допустимых значений: √x существует при x ≥ 0.

Что запомнить

Задание 13 решается через ясную цепочку: исходная величина → изменение → новая величина → проверка. Процентное увеличение задаётся множителем 1 + p/100, уменьшение — множителем 1 − p/100. При нескольких действиях множители перемножаются. В задачах на движение используй s = v · t, а при обратной зависимости сохраняй произведение.

Не торопись подставлять числа: сначала определи причину и следствие словами. Затем проверь единицы, направление изменения и исходную базу для процентов. Такой алгоритм помогает избежать самых частых арифметических и смысловых ошибок.

Следующий шаг — зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно. Если нужна системная подготовка, посмотри материалы по ЕГЭ и сопоставь эту тему с соседними заданиями.