Просто УрокЗадание 15: работа с источником
«Задание 15: работа с источником» — тема, где важно не заучивание, а аккуратность. Показываем по шагам: определения, разбор типового задания, оформление ответа и критерии.
Что представляет собой задание 15 и почему важен анализ источника
Многие выпускники теряют первичные баллы на задании 15 профильного ЕГЭ по математике вовсе не из-за пробелов в базовой алгебре, а из-за неумения правильно прочитать исходные данные задачи. Длинный текст с финансовыми терминами, таблицы выплат или графики остатка долга нередко вызывают растерянность. В этой статье мы разберем универсальный алгоритм перевода условий любого текстового источника в понятную математическую модель, что позволит тебе уверенно забирать максимум на реальном экзамене.
В структуре контрольных измерительных материалов профильного ЕГЭ по математике задание 15 относится к задачам повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Чаще всего здесь встречаются финансовые задачи (кредиты, вклады, инвестиционные проекты), где условие представлено в виде структурированного текста или готовой таблицы остатков долга. Чтобы успешно решить задачу, необходимо воспринимать текст как строгий математический источник: выделить начальные параметры, процентную ставку, регулярные выплаты и динамику остатка долга.
Основные типы условий: от текста к математической модели
Любая работа с источником в задании 15 начинается с классификации финансовой схемы. Существует три базовых сценария взаимодействия заемщика и банка, и каждый из них требует своего подхода к составлению уравнения.
Первый сценарий — дифференцированные платежи. В тексте источника ключевой маркер звучит так: «долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину». Это означает, что тело долга делится на равные части, а процент начисляется на фактически оставшуюся сумму. Второй сценарий — аннуитетные платежи, где ключевая фраза гласит: «выплаты производятся равными суммами». В этом случае платеж постоянен, но соотношение выплаты процентов и основного долга меняется каждый расчетный период. Третий сценарий — табличные данные, когда банк заранее задает остаток долга на конкретные даты в виде числовой таблицы.
Перед началом вычислений введи удобные переменные: пусть S — начальная сумма кредита, r — процентная ставка, а k = 1 + r / 100 — коэффициент увеличения долга. Обозначение выплат отдельными буквами (x, y) убережет тебя от громоздких чисел на первых этапах решения. Чтобы проверить, насколько уверенно ты преобразуешь условия, открой тренажер заданий с разбором и реши несколько базовых задач.
Сравнительный анализ моделей выплат
Чтобы быстро определять структуру задачи по тексту источника, полезно сопоставить основные финансовые схемы в наглядной форме. Обрати внимание на поведение остатка долга и формулу итоговых выплат.
| Тип схемы | Характер платежей | Динамика остатка долга | Формула связи параметров |
|---|---|---|---|
| Дифференцированная | Убывающие (разные) | Уменьшается равномерно на S / n | Общая выплата = S + (S · r · (n + 1)) / 200 |
| Аннуитетная | Строго одинаковые (x) | Уменьшается неравномерно | S · kⁿ − x · (kⁿ⁻¹ + kⁿ⁻² + … + 1) = 0 |
| Табличная | Задаются разностями | Определен значениями в таблице | Выплата_i = Долг_(i−1) · k − Долг_i |
Работа с табличным источником часто оказывается самой простой, поскольку тебе не нужно выводить общую формулу суммы арифметической прогрессии — все промежуточные значения долга уже даны экспертами составителями.
Пошаговый разбор реального прототипа
Рассмотрим задачу с табличным источником данных. Условие: В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 800 тыс. рублей на 4 года. Условия возврата: в январе каждого года долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен составлять часть от исходной суммы в соответствии с таблицей: в 2027 г. — 0,7S, в 2028 г. — 0,4S, в 2029 г. — 0,2S, в 2030 г. — 0 рублей. Найди общую сумму выплат за все 4 года.
Составим пошаговую математическую модель на основе условия:
Пусть S = 800 тыс. руб., r = 15%, k = 1 + 15100 = 1,15.
Выплата 1-го года (2027): X₁ = S · k − 0,7S = 800 · 1,15 − 0,7 · 800 = 920 − 560 = 360 тыс. руб.
Выплата 2-го года (2028): X₂ = 0,7S · k − 0,4S = 560 · 1,15 − 0,4 · 800 = 644 − 320 = 324 тыс. руб.
Выплата 3-го года (2029): X₃ = 0,4S · k − 0,2S = 320 · 1,15 − 0,2 · 800 = 368 − 160 = 208 тыс. руб.
Выплата 4-го года (2030): X₄ = 0,2S · k − 0 = 160 · 1,15 = 184 тыс. руб.
Общая сумма выплат: X_общ = X₁ + X₂ + X₃ + X₄
X_общ = 360 + 324 + 208 + 184 = 1076 тыс. руб.
Ответ: 1 076 000 рублей (или 1076 тыс. рублей).
Обрати внимание: мы выразили каждую выплату через разницу между начисленной суммой с процентами и плановым остатком долга на июль. Это избавило нас от громоздких уравнений и позволило вычислить результат за несколько минут.
Типичные ошибки при интерпретации данных источника
При проверке второй части экзаменаторы чаще всего снимают баллы за небрежность в чтении условия и арифметические промахи при сложении выплат. Если ты хочешь разобрать сложные прототипы с оптимизацией функций, загляни в персональный кабинет ученика для углубленной тренировки.
Не путай «выплату банку» и «уменьшение долга». Уменьшение долга — это чистая разница между остатками тела кредита (без учета процентов), а выплата включает в себя и погашение тела долга, и начисленный банком процент. Если в вопросе просят найти переплату, нужно из общей суммы выплат вычесть исходную сумму кредита S, а не складывать все платежи.
Также распространенной ошибкой является преждевременное округление промежуточных десятичных дробей. Все расчеты необходимо вести в обыкновенных или точных десятичных дробях до финального шага, чтобы не потерять копейки и не получить незачет от проверяющего эксперта.
Что запомнить и как тренироваться
Успешное решение задания 15 строится на трех ключевых правилах: внимательное чтение формулировок, перевод текстовых связей в таблицу динамики долга и аккуратный алгебраический расчет без спешки.
Главные тезисы:
1. Всегда выделяй тип схемы: дифференцированная, аннуитет или табличный график.
2. Вводи повышающий коэффициент k = 1 + r / 100 для компактной записи вычислений.
3. Выплата всегда равна разности: (Остаток долга на начало периода · k) − (Остаток на конец периода).
4. Проверяй размерность ответа: тысячи рублей, миллионы или рубли.
Чтобы закрепить навык и довести оформление до автоматизма, сделай следующий шаг: зарегистрируйся на платформе и реши 5 тематических заданий бесплатно с мгновенной проверкой критериев.
Обязательно ли выводить формулы суммы прогрессии на экзамене?
Да, эксперты требуют обоснования математической модели. Если ты используешь готовую формулу для диф платежей, необходимо показать схему ее составления (сложение процентов или арифметическую прогрессию), иначе есть риск потерять 1 первичный балл за обоснованность решения.
Можно ли оформлять решение через таблицу?
Да, табличное оформление приветствуется экспертами. Главное — четко подписать столбцы: «Год», «Долг до начисления %», «Долг после начисления %», «Выплата» и «Остаток долга после выплаты».
Что делать, если в ответе получается бесконечная дробь?
В реальных вариантах ЕГЭ параметры подобраны так, чтобы ответ был целым числом или конечной десятичной дробью. Если получается бесконечная дробь, перепроверь арифметику: скорее всего, была допущена ошибка в раскрытии скобок или приведении к общему знаменателю.
Как закрепить тему после разбора?
Сразу после изучения теории реши 3–4 задачи каждого типа: аннуитет, дифференцированный платеж и таблицу. В личном кабинете «Просто Урок» ты можешь решать реальные прототипы ЕГЭ с подсказками наставника и эталонными критериями проверки.
Проверь себя на реальных заданиях
После такого разбора решите 5–7 заданий подряд — и тема ваша. Тренажёр Просто Урок подберёт их автоматически и объяснит ошибки по шагам. Бесплатно.