Задание 19 ЕГЭ: числа и их свойства

Как устроено задание 19 и что в нём проверяют

В задании 19 ЕГЭ по профильной математике легко потерять баллы не из-за сложных вычислений, а из-за неверной идеи: число не поделили на случаи, забыли про остаток или приняли частный пример за доказательство. Здесь ты разберёшь понятный алгоритм и научишься видеть свойства чисел ещё до вычислений.

Задание относится к части 2, поэтому ответ нужно обосновать. Чаще всего встречаются делимость, остатки, натуральные и целые числа, чётность, простые числа, разложение на множители. Иногда требуется доказать утверждение, иногда найти все числа, удовлетворяющие условию.

Главное отличие от заданий первой части: недостаточно написать только ответ. Проверяющий должен увидеть, почему других вариантов нет. Поэтому решение строится как короткое рассуждение: введи обозначения, используй свойство чисел, разбери возможные случаи и сделай вывод.

Если хочется спокойно потренировать базовые приёмы, в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» есть практика по теме: открыть кабинет.

Какие свойства чисел нужно знать

Начни с делимости. Если число a делится на b, это записывают так: a = b·k, где k — целое число. Например, число, кратное 7, имеет вид 7k. Остаток r при делении a на b удовлетворяет условиям 0 ≤ r < b, а само число можно представить как a = bq + r.

Полезно помнить признаки делимости. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 — с последней цифрой 0 или 5, на 3 и 9 — числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или 9. На 4 проверяют последние две цифры, на 8 — последние три.

Чётное число имеет вид 2k, нечётное — 2k + 1. Квадрат целого числа при делении на 4 даёт остаток 0 или 1. Для последовательных чисел удобно использовать произведение: одно из двух соседних чисел чётно, а одно из трёх соседних делится на 3.

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Число 1 простым не является. Эти определения помогают не перебирать значения вслепую, а сразу ограничивать количество вариантов.

Алгоритм решения задач с остатками и делителями

Сначала внимательно определи, какие числа рассматриваются: натуральные, целые, положительные или любые. Это влияет на ответ. Затем введи переменную и запиши число через делитель или остаток. Такой шаг превращает текст задачи в алгебру.

Если в условии сказано, что число при делении на 3 даёт остаток 2, пиши n = 3k + 2. Если известно, что число нечётное, используй n = 2k + 1. После подстановки раскрой скобки и собери выражение. Часто нужное свойство становится очевидным.

При поиске всех значений проверь границы и исключи недопустимые случаи. При доказательстве нельзя ограничиваться несколькими проверенными числами: они лишь помогают догадаться о закономерности.

Пусть n = 3k + 1.
Тогда n + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1).
Следовательно, n + 2 делится на 3.

Так выглядит короткое доказательство через представление числа с остатком.

Разобранный пример: сумма и произведение соседних чисел

Рассмотрим типичную задачу. Докажи, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6. Здесь не нужно перебирать числа. Достаточно показать делимость на 2 и на 3, потому что 2 и 3 взаимно просты.

Пусть числа имеют вид n, n + 1, n + 2.
Среди трёх последовательных чисел одно делится на 3.
Среди них хотя бы одно число чётное, значит произведение делится на 2.
Следовательно, произведение n(n + 1)(n + 2) делится на 2 × 3 = 6.

Почему рассуждение работает? Если произведение содержит множитель, кратный 2, и множитель, кратный 3, оно содержит произведение 2 × 3. Даже если одним из чисел является 0 или отрицательное число, делимость сохраняется.

Свойство	Как записать	Что проверить
Чётность	2k или 2k + 1	остаток при делении на 2
Остаток	n = bq + r	0 ≤ r < b
Делимость	n = bk	k — целое

В конце обязательно сформулируй вывод словами. Без него решение может выглядеть незавершённым.

Типичные ошибки и способы их избежать

Первая ошибка — проверять несколько чисел вместо доказательства. То, что утверждение верно для 2, 4 и 6, ещё ничего не доказывает. Используй произвольное число n и его общий вид.

Вторая ошибка — забывать ограничения остатка. Запись n = 5k + 7 неверна как форма остатка: остаток 7 не может быть больше или равен 5. В таком случае преобразуй выражение: 5k + 7 = 5(k + 1) + 2.

Третья проблема — неверное сокращение. Из того, что ab делится на a, нельзя автоматически заключать, что любое выражение с дробью остаётся целым, если знаменатель не является делителем числителя. Особенно внимательно работай с отрицательными числами и нулём.

Неверно: n = 4k + 5 означает остаток 5.
Верно: n = 4(k + 1) + 1, значит остаток равен 1.

После решения подставь простой пример для самопроверки, но не выдавай эту проверку за доказательство.

Что запомнить перед экзаменом

Задание 19 проверяет не скорость перебора, а умение описывать числа общим способом. Чётное число записывай как 2k, нечётное — как 2k + 1, число с остатком r при делении на b — как bq + r. Для последовательных чисел используй свойства чётности и делимости на 3.

Полное решение обычно состоит из четырёх шагов: обозначить число, преобразовать условие, обосновать каждый переход, записать итоговый вывод. Проверь, что все переменные имеют нужный тип, остатки допустимы, а найденные варианты действительно подходят.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме в тренажёре: перейти к практике. После каждого задания сравнивай не только ответ, но и структуру рассуждения.