Задание 17 ЕГЭ: планиметрия, вписанные и описанные

Как устроено задание 17 и с чего начать решение

Планиметрия в задании 17 часто пугает не сложностью, а большим количеством элементов на рисунке. Разберись с видами углов, окружностей и последовательностью действий — и ты сможешь уверенно оформлять решение второй части ЕГЭ.

В задании могут встретиться треугольники, четырёхугольники, окружности, касательные, хорды и дополнительные построения. Ответ обычно требует не только числа, но и развёрнутого обоснования. Поэтому важно записывать, почему два угла равны, откуда взялась пропорция и какую теорему ты применил.

Начинай с чтения условия. Выпиши, что дано, что требуется найти, какие отрезки и углы уже связаны между собой. Затем сделай аккуратный рисунок. Не доверяй масштабу чертежа: изображение помогает увидеть связи, но не заменяет доказательство.

Этап	Что сделать
1	Отметить известные углы и стороны.
2	Найти окружность, касательную, хорду или высоту.
3	Выбрать теорему и записать связь.
4	Выполнить вычисления и проверить ответ.

Вписанная окружность: как находить радиус и площади

Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Для треугольника центр такой окружности находится на пересечении биссектрис. Радиус обозначают буквой r.

Главная формула для площади треугольника: S = r · p, где p — полупериметр. Если стороны равны a, b и c, то p = (a + b + c) ÷ 2. Значит, зная площадь и полупериметр, можно найти радиус: r = S ÷ p.

У прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c радиус вписанной окружности вычисляется проще: r = (a + b − c) ÷ 2. Эта формула полезна, когда стороны уже известны.

У четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d. Это условие часто помогает найти неизвестную сторону до применения формулы площади.

Описанная окружность и ключевые свойства углов

Окружность называют описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Её центр — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.

Основное правило: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Ещё удобнее помнить: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны. Если угол опирается на диаметр, он прямой: 90°.

Для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°. Например, если ∠A = 72°, то ∠C = 108°. Это свойство часто становится первым шагом решения.

Если в задаче есть касательная и хорда, используй теорему о касательной и хорде: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Следи за тем, с какой стороны построен угол.

Бесплатная практика в личном кабинете «Просто Урок» поможет проверить эти свойства на похожих задачах: открыть тренажёр.

Разобранный пример: от рисунка к обоснованному ответу

Рассмотрим типичную ситуацию. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 50°. Около треугольника описана окружность. Требуется найти угол C и центральный угол, опирающийся на дугу AB.

\( ∠C = 180^\circ - ∠A - ∠B \)
\( ∠C = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ \)
Вписанный угол ∠C опирается на дугу AB.
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в 2 раза больше.
\( ∠AOB = 2 \times ∠C = 2 \times 100^\circ = 200^\circ \)
Ответ: ∠C = 100°, ∠AOB = 200°.

Почему здесь возможен центральный угол 200°? Потому что речь идёт о дуге AB, не содержащей вершину C. Это большая дуга. Если в решении нужен меньший центральный угол, он равен 360° − 200° = 160°, но тогда надо внимательно сопоставить его с нужной дугой.

Оформление должно содержать не только вычисления. Напиши, что сумма углов треугольника равна 180°, а центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного. Такие фразы показывают логику решения.

Типичные ошибки и способы их избежать

Первая ошибка — перепутать вписанный и центральный угол. Вписанный угол имеет вершину на окружности, а центральный — в её центре. Они опираются на одну дугу, но центральный вдвое больше.

Вторая ошибка — считать равными любые углы, которые выглядят похожими. Равенство нужно обосновать: общей хордой, вертикальностью, параллельностью, свойством касательной или суммой углов вписанного четырёхугольника.

Третья проблема — потеря единиц и неверная работа с площадью. Радиус измеряется в единицах длины, площадь — в квадратных единицах. Перед вычислениями проверь, что все длины выражены в одной системе.

Четвёртая ошибка — отсутствие проверки. Угол треугольника не может быть больше 180°, радиус должен быть положительным, а сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Что запомнить перед тренировкой

Вписанная окружность касается сторон, а её радиус удобно связывать с площадью: S = r · p. Для вписанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Описанная окружность проходит через вершины, а вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

Держи короткий алгоритм: прочитай условие, отметь ключевые объекты, найди углы или стороны через известную теорему, запиши обоснование, выполни вычисления и проверь результат. В части 2 аккуратная логика важна не меньше самого ответа.

Следующий шаг — зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме: перейти к практике. После каждого решения сравнивай не только число, но и последовательность доказательств.