Просто УрокЗадание 19: игра и выигрышная стратегия
Если «Задание 19: игра и выигрышная стратегия» вызывает ступор — это нормально: тема собрана из простых идей. Покажем их по порядку: теория, пример, разбор задания и типичные ошибки.
Что проверяет задание 19
В задании 19 легко потерять баллы не из-за сложных вычислений, а из-за неверного понимания условия: нужно определить, кто выигрывает, за сколько ходов и при какой стратегии. Здесь важно не угадывать по первым нескольким позициям, а увидеть закономерность. Разберём пошаговый алгоритм, научимся строить дерево игры и проверять выигрышную стратегию, чтобы уверенно решать задания этого типа на экзамене.
В математической игре два участника делают ходы по очереди. Обычно в условии есть некоторое число, куча камней или набор предметов. За один ход разрешено выполнить одно из действий: прибавить число, умножить его, добавить камни в одну из куч. Игра заканчивается, когда достигается заданное условие, например сумма становится не меньше 20.
Важны три элемента: начальная позиция, разрешённые ходы и условие победы. Обозначим позицию числом или парой чисел. Тогда каждый ход переводит игру из одной позиции в другую: например, 7 → 8 или 7 → 14. Если игрок может выбрать ход, после которого победа становится неизбежной, говорят, что у него есть выигрышная стратегия.
В формулировках встречаются вопросы: кто выигрывает первым ходом, кто выигрывает вторым ходом, при каком минимальном значении начального параметра победитель может обеспечить выигрыш. От ответа зависит способ рассуждения, поэтому сначала внимательно выпиши все условия игры.
Позиции и стратегия победы
Начнём с позиции, в которой игра уже завершена. Если при некотором значении цель достигнута, такая позиция является выигрышной для того, кто сделал последний ход. Позиция, из которой любой ход отдаёт сопернику возможность немедленно победить, называется проигрышной для игрока, которому предстоит ходить.
Работаем от конца к началу. Сначала отмечаем позиции, где можно выиграть одним ходом. Затем ищем позиции, из которых существует ход в уже выигрышную для себя ситуацию. Для второго игрока логика меняется: нужно найти позицию, где любой ход первого игрока приводит к ответной выигрышной позиции.
Если после хода можно получить не одно число, а пару, например (a; b), записывай оба значения. При этом порядок куч обычно не важен, если действия симметричны: позиции (3; 8) и (8; 3) равнозначны. Но если правила различаются для первой и второй кучи, менять местами значения нельзя.
Не начинай с перебора случайных ходов. Сначала найди границу окончания игры, затем выпиши позиции, из которых до этой границы можно добраться за один ход.
Удобно использовать таблицу признаков. В ней буква В означает выигрышную позицию, а П — проигрышную для игрока, которому нужно ходить.
| Тип позиции | Признак | Что ищем |
|---|---|---|
| В | Есть хотя бы один ход в П | Игрок выбирает нужный ход |
| П | Все ходы ведут в В | Соперник может ответить |
| Выигрыш за 2 хода | Любой первый ход соперника можно перекрыть | Ответный ход в В |
Алгоритм решения по шагам
Шаг 1. Определи, когда игра заканчивается. Например, победа наступает, если число становится не меньше 20. Не путай «достичь 20» и «получить не меньше 20»: во втором случае значение 21 или 24 тоже подходит.
Шаг 2. Выпиши все возможные действия. Если можно прибавить 1 или умножить на 2, из числа 7 получаются 8 и 14. Нельзя добавлять действия, которых нет в условии, даже если они кажутся естественными.
Шаг 3. Найди позиции победы за один ход. Из них должен существовать хотя бы один разрешённый переход к конечной позиции.
Шаг 4. Для победы второго игрока проверь любой ход первого. После каждого такого хода должен существовать ответ, который приводит к выигрышной позиции. Слово «любой» здесь ключевое: один удачный вариант ещё не доказывает стратегию.
Шаг 5. Если требуется минимальное значение параметра, проверяй числа по порядку и отдельно доказывай, почему меньшее значение не подходит. Ответ без такого обоснования часто оказывается случайным.
Шаг 6. Проверь стратегию словами: «Как бы ни сходил соперник, я отвечу так-то». Это помогает заметить, что найденный ход работает только против одного варианта.
Для небольших игр можно построить дерево ходов. Для больших значений лучше использовать таблицу или рассуждать через расстояние до границы. Главное — не смешивать стратегию первого и второго игрока.
Разобранный пример
Рассмотрим игру. На доске записано число S. За один ход разрешается увеличить его на 1 или умножить на 2. Игра заканчивается, когда число становится не меньше 20. Выигрывает тот, кто первым получает такое число. При каком минимальном S первый игрок выигрывает одним ходом?
Сначала найдём позиции, из которых можно закончить игру за один ход. Если S + 1 ≥ 20, то S ≥ 19. Если 2S ≥ 20, то S ≥ 10. Значит, при любом S от 10 до 19 игрок может выбрать умножение на 2 и сразу победить.
Условия победы за один ход:
\( S + 1 \ge 20 \to S \ge 19 \)
2S ≥ 20 → S ≥ 10
Минимальное S = 10
Проверка: 10 × 2 = 20
Ответ: 10. Обрати внимание, что мы не остановились на условии S + 1 ≥ 20. Второе действие даёт более раннюю границу. Если бы в вопросе спросили про победу второго игрока, одного такого вычисления было бы недостаточно: пришлось бы рассматривать все ходы первого игрока.
В заданиях с двумя кучами ход может менять только одну кучу. Тогда из позиции (4; 7) получаются, например, (5; 7), (8; 7), (4; 8) и (4; 14), если правила разрешают прибавление единицы и удвоение выбранной кучи. Каждую позицию нужно оценивать по условию окончания игры.
В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на похожих игровых позициях и сразу проверить не только ответ, но и ход рассуждений.Типичные ошибки и проверка ответа
Первая ошибка — считать победным любой ход, который приближает к цели. Прибавить 1 к 18 недостаточно, если после этого получается 19, а условие требует не меньше 20. Всегда подставляй результат в точную формулировку окончания игры.
Вторая ошибка — забыть про порядок ходов. Выигрыш за один ход первого игрока и выигрыш за один ход второго игрока — разные задачи. Во втором случае сначала анализируется действие первого игрока, затем обязательный ответ.
Третья ошибка — доказать только существование удачного варианта соперника. Для стратегии нужно рассмотреть все его разрешённые ходы. Формулировка «как бы ни поступил соперник» должна быть подтверждена перебором или общей закономерностью.
Четвёртая ошибка — использовать ход, которого нет в правилах. Нельзя заменить умножение на прибавление, выполнить два действия подряд или изменить обе кучи, если разрешена только одна.
Если в ответе написано «первый игрок выигрывает при S ≥ 10», проверь, действительно ли вопрос просит все такие значения. Иногда требуется только минимальное S, а иногда — диапазон или количество значений.
Перед записью ответа сделай обратную проверку: выполни выбранный ход, проверь достижение цели и убедись, что меньшее значение параметра не даёт такой же возможности. Для тренировки можно перейти к материалам по заданиям ЕГЭ и закрепить именно этот тип рассуждений.
Что запомнить
Игровая задача решается не угадыванием, а анализом позиций. Сначала определи конец игры, затем перечисли разрешённые ходы и найди выигрыш за один ход. Для стратегии второго игрока обязательно проверь все действия первого. Позиция выигрышная, если существует нужный ход; позиция проигрышная, если любой ход отдаёт преимущество сопернику.
Запомни короткую схему: граница → ходы → позиции за 1 ход → ответы на все ходы → проверка минимальности. В формулах внимательно различай ≥ и =: условие «не меньше» включает значения 20, 21, 22 и так далее. В задачах с кучами не меняй обе части, если правило разрешает ход только с одной.
Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения проговаривай стратегию словами: какой ход выбирается и почему он работает при любом ответе соперника.
Что такое выигрышная стратегия?
Это правило выбора ходов, которое гарантирует победу игроку независимо от действий соперника. Важно не просто найти удачный путь, а доказать, что соперник не сможет его нарушить.
Как отличить выигрышную позицию от проигрышной?
Из выигрышной позиции существует хотя бы один ход в проигрышную для соперника позицию. Из проигрышной позиции любой ход переводит игру в выигрышную позицию соперника.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько задач с разными условиями окончания игры: «достичь числа» и «получить не меньше числа». Затем отдельно потренируй игры с одной и двумя кучами и каждый ответ проверяй полным перебором ходов соперника.
Нужно ли строить дерево игры всегда?
Нет. Для маленьких значений дерево удобно, но при больших параметрах быстрее использовать таблицу позиций или рассуждение от конечной границы. Выбирай способ, который позволяет проверить все варианты без пропусков.
Закрепить тему на практике
Теория без практики забывается за неделю. В личном кабинете Просто Урок — задания именно по этой теме с проверкой каждого шага. Регистрация бесплатная.