Задание 21: анализ игр

Задание 21: анализ игр

В задании 21 часто теряются баллы не из-за сложных вычислений, а из-за неверного понимания правил игры. Нужно определить, кто выигрывает, за сколько ходов и при каком начальном количестве камней. В этом разборе ты научишься переводить условие на язык позиций, находить выигрышную стратегию и записывать ответ без лишних догадок.

Обычно в задаче есть одна или две кучки камней. Игроки ходят по очереди, а за один ход могут увеличить одну из кучек, умножить её на число или выполнить несколько разрешённых действий. Побеждает тот, кто первым получает нужное количество камней или достигает порога. Важно сразу уточнить: выигрывает тот, кто сделал последний ход, или тот, после чьего хода сумма стала не меньше заданного значения.

Начни с краткой записи: состояние игры обозначай парой чисел, например (x; y), а возможные действия выпиши отдельным списком. Так условие перестаёт быть длинным текстом и превращается в понятную схему. Перед тренировкой можно открыть раздел подготовки к ЕГЭ по математике и выбрать задания с похожей механикой.

Как находить выигрышные позиции

Позиция называется выигрышной, если из неё текущий игрок может действием перейти в проигрышную позицию соперника. Проигрышная позиция — такая, из которой любой разрешённый ход отдаёт противнику выигрышную возможность. Это определение удобно применять от конца игры к началу.

Сначала найди позиции, после которых игра уже заканчивается. Например, если нужно получить сумму не меньше 30, то состояния с суммой 30 и более могут считаться конечными. Затем проверь позиции, из которых одним ходом можно попасть в конец. Они выигрышные для того, кто ходит. Следующий слой образуют позиции, где любой ход ведёт в выигрышную для соперника позицию.

Для ответа важно различать формулировки. «Петя может выиграть первым ходом» означает существование хотя бы одного удачного действия. «Петя выиграет независимо от ходов Вани» означает, что после любого ответа Вани Петя должен иметь продолжение. Слова «при правильной игре» означают, что оба участника выбирают лучшие ходы.

Алгоритм решения

Работай по пяти шагам. Первый: обозначь состояние игры и условие завершения. Второй: запиши все разрешённые ходы, не добавляя действий «по смыслу». Третий: найди позиции, из которых можно закончить игру одним ходом. Четвёртый: построй позиции второго и третьего уровней. Пятый: сопоставь найденный уровень с вопросом.

Если игра зависит от параметра, например от числа S, не перебирай значения хаотично. Определи границу: при каких S сумма уже достигает цели после одного действия, а при каких ещё нет. Иногда полезно составить таблицу нескольких соседних значений и увидеть закономерность.

Уровень позиции	Что должно быть верно	Смысл
1	Есть ход в конечное состояние	Победа первым ходом
2	Все ходы ведут на уровень 1	Победа вторым ходом
3	Есть ход на уровень 2	Победа первым игроком после ответа
Проигрышная	Нет хода в нужный выигрышный уровень	Соперник получает инициативу

При двух кучках проверяй каждую координату отдельно. Если разрешено увеличить только одну кучку, ход из (x; y) может вести в (x + 1; y), (x × 2; y), (x; y + 1) или (x; y × 2) — но только если именно такие действия указаны в условии.

Разобранный пример

Игра начинается с двух кучек: в первой 5 камней, во второй S камней. За ход можно увеличить одну кучку на 1 или умножить её на 2. Побеждает игрок, после хода которого общее число камней становится не меньше 30. Определи значения S, при которых Петя может выиграть первым ходом.

Начальная сумма: 5 + S
После увеличения первой кучки: 6 + S
После удвоения первой кучки: 10 + S
После увеличения второй кучки: 6 + S
После удвоения второй кучки: 5 + 2S
Нужно: 6 + S ≥ 30 или 10 + S ≥ 30 или 5 + 2S ≥ 30
Из первого неравенства: S ≥ 24
Из второго: S ≥ 20
Из третьего: S ≥ 12,5, значит S ≥ 13
Ответ: S ≥ 13

Почему достаточно выбрать минимальное из условий? Петя может использовать любой разрешённый ход. При S ≥ 13 он удваивает вторую кучку: сумма становится 5 + 2S и достигает 30. При меньших значениях ни один из четырёх ходов не даёт нужной суммы. Значит, выигрыш первым ходом возможен ровно при S ≥ 13.

Если бы спрашивалось о выигрыше вторым ходом, одного сравнения с порогом было бы недостаточно. Нужно было бы учитывать ответ Вани и искать такое действие Пети, которое сохраняет возможность завершить игру после любого хода соперника.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать выигрышной любую позицию, из которой можно приблизиться к цели. Приближение не равно победе: соперник может изменить другую кучку и перехватить инициативу. Вторая ошибка — забыть действие, применимое к каждой кучке. Если сказано «увеличить одну из кучек», вариантов обычно больше двух.

Третья ошибка — неправильно читать «не менее». Условие 30 означает 30, 31, 32 и так далее. Если написано «ровно 30», превышение цели может быть запрещено или не считаться победой — это нужно проверить по тексту.

Четвёртая ошибка — смешивать ходы игроков. После действия Пети нельзя сразу выбирать следующий ход Пети: между ними обязательно есть ход Вани. Пятая — записывать только ответ без объяснения стратегии. В заданиях с развёрнутым решением покажи конкретный ход и докажи, почему он работает.

Для закрепления попробуй решить несколько вариантов в личном кабинете с бесплатной практикой: после каждого ответа объясняй не только число, но и первый выигрышный ход.

Что запомнить

В анализе игр главное — не угадывать ход, а классифицировать позиции. Запиши состояние, перечисли разрешённые действия, найди конечные позиции и двигайся от конца к началу. «Есть ход» означает возможность выбрать удачное действие, а «при любых ходах соперника» требует проверки всех его ответов.

Проверяй границы внимательно: «не менее» допускает превышение, а «ровно» — нет. В задачах с двумя кучками учитывай изменение каждой кучки и сохраняй порядок ходов. Хороший ответ содержит условие на параметр и короткое описание стратегии.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в тренажёре «Просто Урок». Разбирай ошибки сразу после попытки: именно так формируется навык видеть выигрышную позицию, а не только получать случайный ответ.