Задание 2: клетка

Что проверяет задание «Клетка»

Клетчатый рисунок в задании 2 ЕГЭ часто выглядит безобидно, но именно здесь легко потерять балл из-за спешки: посчитать не те клетки, перепутать длину диагонали или принять маленький квадрат за единицу площади. Разберём универсальный алгоритм, чтобы ты уверенно читал рисунок, выбирал нужную формулу и проверял ответ. После этого похожие задачи будут решаться не наугад, а по понятному плану.

Обычно на координатной сетке изображают многоугольник, отрезок, треугольник или прямоугольник. В условии могут попросить найти площадь, периметр, длину стороны, координаты точки либо количество клеток. Главная идея одна: сначала определить масштаб рисунка, затем заменить изображение математической моделью.

Если одна клетка имеет сторону 1, её площадь равна 1, а длина диагонали равна √2. Если сторона клетки равна a, то площадь клетки равна a², диагональ равна a√2. Не начинай вычисления, пока не выяснишь, что именно считается единицей.

Как читать клетчатую сетку

Начни с осей и подписей. Координатные линии могут быть проведены не через каждую клетку, поэтому расстояние между соседними отметками иногда составляет 2, 3 или другое число клеток. Отметь на рисунке вершины фигуры и запиши их координаты. Даже короткая запись снижает риск ошибиться при переносе данных в формулу.

Для горизонтального и вертикального отрезка длина находится подсчётом клеток. Для наклонного отрезка используй прямоугольный треугольник: горизонтальный сдвиг обозначь Δx, вертикальный — Δy. Тогда длина отрезка равна √(Δx² + Δy²). Например, при сдвиге на 3 клетки вправо и на 4 клетки вверх длина составляет √(3² + 4²) = 5.

Площадь прямоугольника находят как произведение длины и ширины: S = a × b. Для треугольника S = ½ × a × h, где a — основание, h — высота. Если фигура сложная, раздели её на прямоугольники и треугольники или дострой до большого прямоугольника и вычти лишние части.

Алгоритм решения

Шаг 1. Прочитай вопрос до конца: требуется площадь, периметр, длина или координата. Шаг 2. Определи размер клетки и единицы измерения. Шаг 3. Нанеси на рисунок вспомогательные высоты, если фигура наклонная или составная. Шаг 4. Выбери формулу и подставь числа только после подсчёта отрезков.

Для площади составной фигуры удобно использовать таблицу частей:

Часть фигуры	Размеры	Площадь
Прямоугольник	a и b	a × b
Треугольник	основание a, высота h	½ × a × h
Квадрат	сторона a	a²

Шаг 5. Проверь здравый смысл результата. Площадь не может быть больше площади описанного прямоугольника, а периметр должен учитывать только внешнюю границу. Если задана длина в сантиметрах, ответ для площади выражается в квадратных сантиметрах.

Когда точки имеют координаты, разность координат бери по модулю: |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|. Направление движения не важно для длины. Для середины отрезка используй средние арифметические координат: ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2).

Разобранный пример

На клетчатой сетке изображён прямоугольный треугольник ABC. Катет AB горизонтален и равен 6 клеткам, катет AC вертикален и равен 8 клеткам. Одна клетка имеет сторону 1 см. Найдём площадь и периметр треугольника.

\( AB = 6 \text{см} \)
\( AC = 8 \text{см} \)
\( BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{1}00 = 10 \text{см} \)
\( S = ½ \times AB \times AC = ½ \times 6 \times 8 = 24 \text{\text{см}}^2 \)
\( P = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24 \text{см} \)
Ответ: S = 24 см², P = 24 см

Почему решение работает? Катеты перпендикулярны, значит один из них можно взять за основание, а другой будет высотой. Гипотенуза находится по теореме Пифагора. Обрати внимание: площадь и периметр случайно получились равными, но это не общее правило. Если в рисунке клетка имеет сторону ¾ см, сначала переведи длины: 6 клеток = 6 × ¾ = 4½ см, а затем вычисляй площадь в квадратных сантиметрах.

Если в условии требуется только один показатель, не трать время на лишние вычисления. Но промежуточные шаги лучше записать: по ним легко заметить ошибку и быстро исправить её.

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — неверно выбранная единица. Иногда на рисунке одна клетка соответствует не 1, а 2 единицам. Вторая — использование формулы площади без настоящей высоты. Наклонная сторона не является высотой, если она не перпендикулярна основанию. Третья — подсчёт внутренних линий при поиске периметра. В периметр входят только стороны внешнего контура.

Четвёртая ошибка связана с диагональными отрезками. Если перемещения по сетке равны 1 и 1, длина равна √2. Если сдвиги равны 2 и 2, длина равна √8 = 2√2. Не округляй корень без просьбы в условии. Точная форма обычно удобнее и надёжнее.

Пятая ошибка — неверный знак в координатах. Точка слева от оси Oy имеет отрицательную абсциссу, а ниже оси Ox — отрицательную ординату. Перед ответом сравни его с рисунком: точка должна оказаться в нужной четверти, а площадь — быть неотрицательной.

Для закрепления навыка удобно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решать задачи с разными масштабами. После каждого ответа объясняй себе не только «сколько получилось», но и «почему выбрана именно эта формула».

Что запомнить

Клетчатая задача решается по схеме: определи масштаб, найди размеры по клеткам, выбери формулу, проверь единицы и оцени результат. Для наклонного отрезка используй теорему Пифагора: длина = √(Δx² + Δy²). Для площади составной фигуры разделяй её на простые части, а для периметра считай только внешнюю границу.

Полезно держать в памяти: квадрат имеет площадь a², прямоугольник — a × b, треугольник — ½ × a × h. Если сторона клетки 2⅓, сначала переведи размеры в обычные числа или оставь дробь точно, не переходя к приблизительному десятичному значению.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Так ты проверишь, умеешь ли применять алгоритм на новых рисунках, а не только повторять разобранный пример. Дополнительные материалы по экзамену доступны в разделах ЕГЭ и ОГЭ.