Задание 5: человек

Что проверяет задание 5: человек

В задании 5 часто теряются не из-за сложной математики, а из-за спешки: кто-то путает процент с процентным пунктом, кто-то неверно понимает условие про возраст, рост, зарплату или количество людей. Здесь важно не угадывать действие, а переводить текст в понятную модель. В этом разборе ты научишься выделять величины, составлять короткую схему и проверять ответ, чтобы решать задачу уверенно.

Сюжеты могут быть разными: изменение числа работников, распределение людей по группам, расчёт возраста, доли участников, производительности или стоимости. Но математическое ядро обычно одно: найти часть от целого, восстановить целое по части или сравнить две величины.

Сначала прочитай вопрос, а затем условие. Определи, что требуется найти, в каких единицах дан ответ и какие числа связаны между собой. Если речь идёт о людях, результат чаще всего должен быть целым неотрицательным числом. Дробь человека в обычной задаче означает ошибку в модели или вычислениях.

Если нужно быстро потренироваться на похожих формулировках, можно открыть раздел о заданиях ЕГЭ и сверять не только ответ, но и ход рассуждений.

Три базовые модели

Первая модель — часть от целого. Если в группе N человек, а доля некоторой категории равна p процентов, количество представителей этой категории вычисляется так: N × p ÷ 100. Например, ¾ от 20 — это 15, потому что 20 × ¾ = 15.

Вторая модель — восстановление целого по известной части. Если 30% всех участников составляют 12 человек, то общее количество равно 12 ÷ 0,3, то есть 40. Процент сначала удобно перевести в десятичную дробь.

Третья модель — последовательное изменение. После увеличения на 20% величина становится равной 1,2 от первоначальной, а после уменьшения на 20% — 0,8 от первоначальной. Эти действия не уничтожают друг друга: увеличение на 20%, а затем уменьшение на 20% даёт 0,96 первоначального значения.

Ситуация	Математическая запись
p% от N	N × p ÷ 100
Целое по p% и части A	A ÷ (p ÷ 100)
Увеличение на p%	старое значение × (1 + p ÷ 100)
Уменьшение на p%	старое значение × (1 − p ÷ 100)

Перед решением полезно подписать единицы: человек, рублей, лет, часов. Такая мелочь уменьшает риск перепутать количество людей с процентом.

Как составить решение по шагам

Шаг 1. Выпиши неизвестное. Если ищется число взрослых, обозначь его x. Если известна общая численность, не вводи лишнюю переменную.

Шаг 2. Найди ключевую связь. Слова «составляет», «приходится», «из них», «на сколько больше» показывают, какую операцию нужно выполнить. Фраза «на 25% больше» означает умножение на 1,25, а не прибавление числа 25.

Шаг 3. Приведи проценты к удобному виду. 5% = 0,05, ¾ = 0,75, 2⅓ = 7⁄3. Если в условии есть доля, можно сразу умножать на дробь.

Шаг 4. Проверь смысл. Если нашли часть группы, она не может быть больше целого. Если после роста получили меньше исходного значения, значит, перепутан знак. Если спрашивают количество людей, проверь делимость и целочисленность.

Для задач с возрастом удобно помнить: разность возрастов двух людей постоянна. Если одному 12 лет, а другому на 8 лет больше, через 5 лет им будет 17 и 25, разность останется 8.

Разобранный пример

В кружке занимается 40 человек. Из них 35% посещают занятия по субботам. После набора новых участников число субботних посетителей увеличилось на 20%, и стало равным 21 человеку. Сколько новых участников посещают занятия по субботам?

Сначала найдём прежнее число субботних посетителей:
40 × 0,35 = 14 человек.
После увеличения на 20% их стало:
14 × 1,2 = 16,8 человека.
Такой результат невозможен для количества людей, значит, в условии нужно внимательно различить величины: если после набора стало 21 человек, то увеличение составило 7 человек.
Количество новых субботних посетителей:
21 − 14 = 7 человек.
Ответ: 7.

В этом примере важна не только арифметика, но и проверка смысла. Нельзя механически умножить 14 на 1,2 и принять 16,8: люди считаются целыми. Если проценты относятся не к числу посетителей, а ко всей новой группе, модель будет другой. Поэтому перед вычислением обязательно уточняй, к какой величине относится каждое изменение.

В реальном варианте ЕГЭ формулировка будет однозначной. Если промежуточный результат противоречит вопросу, перечитай предложение, где указано, что именно выросло или уменьшилось.

Типичные ошибки и проверка

Ошибка первая — перепутать «на 15%» и «до 15%». Увеличение числа на 15% означает прибавить 15% от исходного числа. Запись «стало 15%» означает, что итоговая доля равна 0,15 от целого.

Ошибка вторая — считать проценты от новой величины, хотя в условии требуется исходная. При последовательных изменениях каждый следующий процент может относиться уже к другому числу.

Ошибка третья — сложить доли, которые относятся к разным группам. Сначала проверь, одинаково ли устроены знаменатели. Доля мальчиков от всех учащихся и доля спортсменов среди мальчиков нельзя напрямую складывать.

Ошибка четвёртая — забыть про остаток. Если 40% людей выбрали первый вариант, остальные составляют 60%, а не 40%. Сумма взаимодополняющих долей должна быть 100%.

Финальная проверка занимает несколько секунд: подставь ответ в условие, оцени порядок величины и убедись, что единицы совпадают с вопросом. Если ответ должен быть человеком, участником или учеником, десятичный результат почти всегда сигнализирует о неверно выбранной операции.

Дополнительные задания с похожими сюжетами доступны в личном кабинете с бесплатной практикой: решай их после теории и разбирай каждую ошибку, а не только смотри правильный вариант.

Что запомнить

Главная схема задания 5 проста: найди целое, определи часть, переведи проценты в дробь и проверь, к какой величине относится изменение. p% от N — это N × p ÷ 100. Чтобы восстановить целое, часть делят на долю. Увеличение на p% заменяется множителем 1 + p ÷ 100, уменьшение — множителем 1 − p ÷ 100.

Не торопись выполнять действия по порядку появления чисел в тексте. Сначала определи отношения между величинами, затем запиши краткую модель. Особое внимание уделяй словам «на», «до», «из них», «осталось» и «всего»: именно они меняют смысл вычисления.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После решения сравни не только ответы, но и выбранную модель: так навык переносится на новые формулировки.