Задание 21: задачи на смеси

Что такое задачи на смеси

Задачи на смеси часто пугают не вычислениями, а длинным условием: растворы, сплавы, проценты, разные цены и непонятно, что именно считать. На самом деле почти любую такую задачу можно свести к одному понятному балансу: сколько вещества было до смешивания и сколько стало после. Разберём алгоритм по шагам, научимся составлять уравнение и проверять ответ, чтобы уверенно решать задание 21 на экзамене.

Главная идея такова: количество чистого вещества в каждой части смеси равно произведению массы этой части на её долю. Если раствор содержит 18% соли, это означает, что соли в нём 0,18 от общей массы. Важно не путать массу раствора и массу растворённого вещества.

масса вещества = масса смеси × доля вещества
доля вещества = процент ÷ 100

Перед решением выпиши, что обозначает неизвестная: массу смеси, массу воды, массу сплава или процент концентрации. Такая запись сразу уменьшает риск ошибиться в единицах.

Базовый алгоритм решения

Сначала выбери величину, которую удобно обозначить буквой. Обычно за x берут массу добавляемого раствора или массу получившейся смеси. Затем переведи проценты в десятичные дроби: 7% = 0,07, 25% = 0,25, ¾ = 0,75.

После этого вырази количество чистого вещества в каждой части. В левой части уравнения будет сумма вещества из исходных компонентов, а в правой — количество вещества в итоговой смеси. Если добавляют воду, соли в ней нет, поэтому её вклад равен нулю.

если смешали m₁ кг раствора концентрации p₁ и m₂ кг раствора концентрации p₂:
\( m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2 = (m_1 + m_2) \cdot p \)

Реши линейное уравнение, найди искомую величину и проверь смысл ответа. Масса не может быть отрицательной, а концентрация итоговой смеси должна находиться между концентрациями исходных растворов.

Для удобной записи можно использовать таблицу.

Компонент	Масса	Доля вещества	Масса вещества
Первый раствор	m₁	p₁	m₁ · p₁
Второй раствор	m₂	p₂	m₂ · p₂
Смесь	m₁ + m₂	p	(m₁ + m₂) · p

Разобранный пример

Решим задачу полностью. В 20 кг 15%-го раствора соли добавили некоторое количество 5%-го раствора и получили 10%-ную смесь. Сколько килограммов второго раствора добавили?

Обозначим массу второго раствора через x кг. В исходном растворе соли было 20 × 0,15 = 3 кг. Во втором растворе соли содержится 0,05x кг. Общая масса смеси равна 20 + x кг, а соли в ней должно быть 0,10(20 + x) кг.

\( 20 \cdot 0,15 + x \cdot 0,05 = (20 + x) \cdot 0,10 \)
\( 3 + 0,05x = 2 + 0,10x \)
\( 1 = 0,05x \)
\( x = 20 \)

Ответ: добавили 20 кг 5%-го раствора. Проверим результат: соли было 3 кг + 1 кг = 4 кг, масса смеси составила 40 кг, поэтому концентрация равна 4 ÷ 40 = 0,1, то есть 10%. Ответ подходит.

Сплавы и изменение концентрации

В задачах о сплавах вместо раствора говорят о металле или примеси. Логика остаётся той же: чистый металл — это полезное вещество, а доля примеси или другого металла задаётся процентом. Если в сплаве 80% меди, то масса меди равна 0,8 от массы сплава.

Иногда в условии требуется получить сплав определённой пробы. Проба 750 означает 750 частей чистого металла из 1000, то есть 75%. Поэтому сначала переведи пробу в долю, а дальше составь обычный баланс.

750-я проба = 750 ÷ 1000 = 0,75
масса чистого металла = масса сплава × 0,75

Если из смеси удаляют часть вещества, удобно считать, сколько чистого металла осталось. Если добавляют чистый металл, его доля равна единице. При добавлении примеси доля полезного металла равна нулю.

Смешивание цен также решается похожим способом, если речь идёт о средней цене: общая стоимость компонентов равна стоимости всей смеси. Но внимательно проверь, действительно ли цена распределяется пропорционально массе, а не зависит от других условий.

Типичные ошибки и ловушки

Первая ошибка — записать 15 вместо 0,15. Процент всегда нужно разделить на 100. Вторая — умножить процент на массу не той части. Подпиши рядом с каждым числом, к какому раствору оно относится.

Третья ошибка возникает при добавлении воды. Вода увеличивает общую массу, но не увеличивает массу соли. Поэтому в уравнении для чистого вещества её слагаемое отсутствует, хотя в правой части она влияет на массу всей смеси.

при добавлении воды к m кг раствора концентрации p:
\( m \cdot p = (m + x) \cdot q \)

Четвёртая ловушка — неверный диапазон ответа. Если смешали растворы концентраций 12% и 30%, итоговая концентрация не может быть 5% или 40%. Она обязана быть между 12% и 30%, если не происходит удаление или добавление чистого вещества отдельно.

Если сомневаешься, составь мини-таблицу: масса, доля, масса чистого вещества. Она почти механически подсказывает правильное уравнение.

Что запомнить

Для задачи на смесь нужно сохранить баланс чистого вещества: сумма его масс в исходных компонентах равна массе вещества в результате. Проценты переводи в доли, воду учитывай в общей массе, а не в массе соли или металла. После решения проверь единицы, знак и диапазон концентрации.

масса вещества = масса смеси × концентрация
концентрация смеси = масса вещества ÷ общая масса
\( 100\% = 1, 25\% = 0,25, 2⅓\% = 0,023⅓ \)

Чтобы закрепить алгоритм, реши несколько задач с разными сюжетами: раствор соли, сплав и разбавление водой. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно, сразу сверяя не только ответ, но и составленное уравнение.

Если понадобится повторить общую структуру экзамена, загляни в раздел подготовки к ЕГЭ. А для системной практики используй бесплатную практику в личном кабинете: возвращайся к теме через несколько дней и решай задания без подсказок.