Просто УрокЗадание 22: задача на избыток
Если «Задание 22: задача на избыток» вызывает ступор — это нормально: тема собрана из простых идей. Покажем их по порядку: теория, пример, разбор задания и типичные ошибки.
Что такое задача на избыток
В задачах на избыток обычно требуется понять, какого вещества или ресурса не хватает, а что останется после реакции, производства или смешивания. Именно слово «избыток» часто сбивает с толку: школьник начинает подставлять числа в первую попавшуюся формулу и теряет смысл условия. Здесь ты научишься видеть главную связь, составлять короткую модель и уверенно находить остаток. Такой алгоритм пригодится не только на экзамене, но и в задачах на смеси, сплавы, растворы и производство.
Сначала определи, о каких величинах идёт речь: масса, объём, количество вещества, число деталей или стоимость. Затем выясни, сколько ресурса требуется для одной единицы результата. Избыток появляется тогда, когда одного ресурса больше, чем нужно для использования другого полностью. Значит, сначала важно найти ограничивающий ресурс, а уже потом вычислять остаток.
В ЕГЭ условие может быть записано словами, таблицей или несколькими отношениями. Не торопись считать всё подряд. Подчеркни данные, выпиши единицы измерения и сформулируй вопрос своими словами: «Что полностью расходуется?» и «Что останется?»
Алгоритм решения по шагам
Шаг 1. Выбери величину, которую удобно принять за переменную. Чаще всего это количество полученного продукта или число изготовленных изделий. Шаг 2. По условию найди расход каждого ресурса на одну единицу результата. Если на 5 изделий требуется 12 кг материала, на одно изделие приходится 12 ÷ 5 кг.
Шаг 3. Для каждого ресурса вычисли максимально возможное количество результата. Например, из 30 кг сырья при норме 3 кг на изделие можно получить 30 ÷ 3 = 10 изделий. Шаг 4. Сравни полученные значения. Наименьшее число показывает, какой ресурс ограничивает производство.
Шаг 5. Умножь найденное число изделий на норму расхода нужного ресурса и вычти результат из его исходного количества. Не забудь проверить единицы. Если масса дана в килограммах, ответ не должен внезапно оказаться в граммах без перевода.
Называй ограничивающий ресурс вслух: «Именно его хватит на меньшее количество изделий». Такая фраза помогает не перепутать остаток с общим расходом.
Разобранный пример
Рассмотрим типичную задачу. Для изготовления одного набора нужны ¾ кг материала A и 2⅓ кг материала B. На складе есть 18 кг материала A и 70 кг материала B. Сколько килограммов материала B останется после изготовления максимально возможного числа наборов?
Сначала приведём смешанное число к неправильной дроби: 2⅓ = 7⁄3 кг. Материал A позволяет изготовить 18 ÷ ¾ наборов. Деление на дробь заменяем умножением на обратную: 18 × 4⁄3 = 24 набора. Материал B позволяет изготовить 70 ÷ 7⁄3 = 70 × 3⁄7 = 30 наборов. Значит, ограничивает производство материал A: наборов будет 24, а материал B окажется в избытке.
Материал A: 18 ÷ ¾ = 24 набора
Материал B: 70 ÷ 2⅓ = 70 ÷ 7⁄3 = 30 наборов
Максимум: min(24; 30) = 24 набора
Расход B: 24 × 2⅓ = 24 × 7⁄3 = 56 кг
Остаток B: 70 − 56 = 14 кг
Ответ: 14 кг.
Проверка проста: для 24 наборов нужно 18 кг материала A, то есть он израсходован полностью. Материала B требуется 56 кг, поэтому 14 кг действительно остаётся. Если бы после вычислений получилось отрицательное число, это означало бы ошибку в выборе количества наборов или в единицах.
Таблица и математическая модель
Когда ресурсов несколько, удобно составить таблицу. Она превращает длинный текст в понятную схему: в первой строке находятся запасы, во второй — расход на одну единицу, в третьей — возможное число единиц. Такой способ особенно полезен, если в условии много чисел.
| Ресурс | Запас | Расход на изделие | Максимум изделий |
|---|---|---|---|
| A | 18 кг | ¾ кг | 24 |
| B | 70 кг | 2⅓ кг | 30 |
В общем виде можно записать так: если запас ресурса равен S, а расход на одну единицу равен q, то ресурс позволяет получить S ÷ q единиц результата. При нескольких ресурсах берём минимальное значение: n = min(S₁ ÷ q₁; S₂ ÷ q₂; ...). Затем остаток выбранного ресурса вычисляется по формуле S − n × q.
Иногда количество изделий должно быть целым. Тогда дробное значение нельзя округлять вверх: если получилось 8,6 изделия, реально можно изготовить только 8. Используй целую часть числа, то есть округляй вниз. Если задача допускает непрерывное смешивание или продажу раствора, ограничение целого числа может отсутствовать.
Типичные ошибки
Первая ошибка — искать избыток до определения максимального количества результата. Нельзя просто вычесть один запас из другого: у ресурсов разные единицы и нормы расхода. Вторая ошибка — выбрать больший, а не меньший результат деления. Меньшее значение всегда показывает ресурс, который закончится раньше.
Третья ошибка — неправильно делить на дробь. Например, 12 ÷ ¾ = 12 × 4⁄3, а не 12 × 3⁄4. Четвёртая — забыть, что 2⅓ = 7⁄3, а не 2⁄3. Пятая — считать остаток от исходного запаса, не вычитая фактический расход на найденное число изделий.
Если один ресурс позволяет сделать 12 изделий, а другой — 15, нельзя брать 15. Для 15 изделий первого ресурса не хватит, поэтому реальный максимум равен 12.
Полезно выполнить обратную проверку: умножить число изделий на расход каждого ресурса и сравнить с запасом. Для каждого ресурса должно выполняться неравенство расход ≤ запас. Если оно нарушено, решение нужно пересмотреть.
Закрепить такой алгоритм можно в бесплатной практике в личном кабинете: решай задачи по одной схеме и сразу проверяй, какой ресурс стал ограничивающим.
Что запомнить
Задача на избыток решается не угадыванием, а последовательной моделью. Найди расход на одну единицу, раздели запас каждого ресурса на этот расход, выбери минимальное значение и вычисли остаток того ресурса, которого оказалось больше. В ответе обязательно указывай единицы измерения и проверь, что ни один запас не перерасходован.
Если в задаче встречаются дроби, переводи смешанные числа в неправильные дроби и аккуратно выполняй деление. Если результат должен быть целым, округляй вниз. После решения объясни себе одним предложением, почему именно этот ресурс ограничивает производство.
Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После этого можно перейти к подборке материалов для подготовки к ЕГЭ и проверить, как тот же принцип работает в задачах с несколькими условиями.
Что делать, если ресурсов больше двух?
Для каждого ресурса отдельно вычисли запас, делённый на расход на одну единицу. Минимальное значение определит максимальный выпуск. Остатки остальных ресурсов считай после подстановки этого выпуска.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько задач разных типов: на производство, смеси и растворы. Каждый раз сначала составляй таблицу «запас — расход — возможный выпуск», а затем выполняй обратную проверку.
Можно ли округлять количество изделий?
Если изделие неделимо, дробное значение округляют вниз. Округление вверх приведёт к перерасходу ресурса. Для жидкостей и непрерывных величин это правило применяют только тогда, когда оно указано в условии.
Как понять, что найден именно избыток?
Сравни исходный запас ресурса с его фактическим расходом. Если запас больше расхода, разность между ними и есть избыток. Если разность равна нулю, ресурс использован полностью.
Закрепить тему на практике
Теория без практики забывается за неделю. В личном кабинете Просто Урок — задания именно по этой теме с проверкой каждого шага. Регистрация бесплатная.