Задание 23: вторая часть: разбор

Особенности задания 23: структура и критерии оценивания

Вторая часть экзамена часто вызывает тревогу: кажется, что сложные геометрические задачи требуют олимпиадного мышления, а за малейшую помарку проверяющие сразу снимут баллы. На самом деле задание 23 — это отличный шанс уверенно заработать два первичных балла, если знать структуру критериев и уметь строить логически безупречное доказательство. В этом разборе мы последовательно разберём механику задания, научимся видеть опорные геометрические фигуры и грамотно оформлять каждый шаг решения без риска потерять баллы.

Задание 23 представляет собой геометрическую задачу на вычисление длин отрезков, углов, площадей или тригонометрических функций в треугольниках, четырёхугольниках и окружностях. Эксперты оценивают решение по двум критериям: математическая строгость обоснования и правильность вычислений. Если чертёж содержит неточности, не влияющие на ход рассуждений, балл не снизят, однако отсутствие ссылок на теоремы или вычислительная ошибка сразу приведут к потере одного или двух баллов. При системной подготовке на наших программах подготовки к ЕГЭ и курсах ОГЭ мы уделяем особое внимание культуре математической записи, чтобы проверяющий эксперт не сомневался в логике решения.

Базовый теоретический фундамент

Успешное выполнение двадцать третьего номера опирается на уверенное владение свойствами углов, подобием треугольников и метрическими соотношениями в окружностях. В подавляющем большинстве прототипов достаточно применить две или три взаимосвязанные теоремы. Основная сложность заключается в том, чтобы разглядеть нужную конфигурацию на общем чертеже.

Ниже приведена таблица ключевых теоретических блоков, которые встречаются в подавляющем большинстве вариантов экзаменационных работ:

Тематический блок	Опорная теорема / свойство	Математическое соотношение
Подобие треугольников	Признак по двум углам (∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁)	AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁ = k
Пересекающиеся хорды	Произведения отрезков пересекающихся хорд равны	AP · PB = CP · PD
Касательная и секущая	Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть	AK² = AB · AC
Вписанный угол	Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу	∠ABC = ½ · ∠AOC = ½ · ∪AC

Понимание этих формул избавляет от необходимости перебирать все возможные теоремы подряд. Ты сразу видишь, какие элементы связывают исходные данные с искомой величиной.

Пошаговый алгоритм решения задачи

Любая геометрическая задача второй части решается по универсальному алгоритму, который минимизирует вероятность ошибок и экономит время на экзамене. Приучи себя следовать этой схеме на каждой тренировке:

1. Построение наглядного чертежа. Рисуй крупный, пропорциональный рисунок. Не делай треугольник равнобедренным или прямоугольным, если это не оговорено в условии, чтобы избежать ложных визуальных выводов.
2. Фиксация данных и поиск равных углов. Отметь на чертеже все известные величины, вертикальные и накрест лежащие углы, а также углы, опирающиеся на общую дугу окружности.
3. Поиск подобных треугольников или прямоугольных связок. Почти всегда в задаче есть пара подобных треугольников, отношение сторон которых позволяет выразить неизвестный отрезок.
4. Алгебраический расчёт и проверка единиц измерения. Составь пропорцию или уравнение, вырази искомую переменную и аккуратно выполни арифметические действия.

Если хочешь отработать этот алгоритм на практике под контролем интерактивной системы проверки, загляни в личный кабинет ученика, где собраны актуальные прототипы заданий с подробными подсказками.

Полный разбор типового задания 23

Рассмотрим классическую задачу на окружность и секущие. Условие: Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, параллельная гипотенузе AB и касающаяся окружности, описанной около этого треугольника. Окружность пересекает катет AC в точке K так, что AK = 4, а KC = 12. Найдите длину гипотенузы AB.

1. Отрезок AC = AK + KC = 4 + 12 = 16.
2. Поскольку ∠ACB = 90°, гипотенуза AB является диаметром описанной окружности: AB = 2R, где R — радиус окружности.
3. Пусть прямая l касается окружности в точке C и l ∥ AB. Угол между касательной l и хордой CB равен вписанному углу, опирающемуся на дугу CB: ∠(l, CB) = ∠CAB.
4. Так как l ∥ AB, внутренние накрест лежащие углы равны: ∠(l, CB) = ∠ABC.
5. Отсюда следует равенство острых углов треугольника: ∠CAB = ∠ABC = 45°, следовательно, △ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник, где BC = AC = 16.
6. По теореме Пифагора для △ABC находим гипотенузу AB:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512. \)
\( AB = \sqrt{5}12 = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}. \)
Ответ: 16√2.

Обрати внимание: решение получилось компактным, потому что мы последовательно обосновали равенство углов через свойства касательной и параллельных прямых, избежав громоздких дополнительных построений.

Типичные ошибки и подводные камни при оформлении

Даже решив задачу абсолютно верно в черновике, учащиеся нередко теряют баллы из-за небрежного оформления. Эксперты обязаны проверять соответствие текста критериям ФИПИ, поэтому каждая строчка должна иметь математическое обоснование.

К другим распространенным недочётам относятся: путаница между радиусом и диаметром при вычислении гипотенузы, пропуск названия теорем (например, теоремы косинусов или теоремы о секущих) и арифметические ошибки при извлечении корней из иррациональных выражений. Регулярная практика в тренажёре второй части помогает выработать автоматическую привычку писать полные обоснования.

Что запомнить и как тренироваться

Для гарантированного получения максимума за задание 23 держи в голове краткий чек-лист подготовки:

• Крупный чертёж: всегда строй аккуратный рисунок с обозначением всех известных величин и прямых углов.
• Обоснование каждого шага: используй связки «по теореме Пифагора», «по признаку подобия по двум углам», «как накрест лежащие при параллельных прямых».
• Проверка вычислений: пересчитывай пропорции и корни дважды перед переносом решения в чистовик.
• Регулярность: решай минимум 3–4 геометрические задачи второй части каждую неделю.

Переходи от теории к реальным результатам: прямо сейчас открой бесплатный пробный модуль, зарегистрируйся и реши 5 тематических заданий второй части, чтобы закрепить разобранные методы и получить подробный разбор своих решений от наставника.