Закон сохранения импульса

Что такое импульс тела и импульс силы

Задачи на соударения шаров, выстрелы орудий и сцепку тележек часто вызывают ступор на ЕГЭ по физике, потому что выпускники забывают о векторной природе величин и механически складывают числа. В этом руководстве мы разберем закон сохранения импульса от базовых определений до тонкостей второй части, чтобы ты безошибочно решал любые типы задач и гарантированно забирал максимальные баллы.

Импульс тела (или количество движения) — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением вектора скорости:

\( p = m \cdot v \)
Единица измерения: [p] = кг·м/с

Если на тело массой m в течение времени Δt действует постоянная результирующая сила F, то скорость тела изменяется от v₀ до v. Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме: F = m · a = m · (Δv / Δt), откуда получаем фундаментальное соотношение:

\( F \cdot \Delta t = \Delta p = p - p_0 = m \cdot v - m \cdot v_0 \)
где F · Δt — импульс силы (измеряется в Н·с или кг·м/с)

Импульс силы показывает, как внешнее воздействие за определенный промежуток времени меняет импульс тела. Если на систему не действуют внешние силы, изменение суммарного импульса равно нулю.

Условия применимости закона сохранения импульса

Закон сохранения импульса (ЗСИ) выполняется не всегда, а только при соблюдении строгих физических условий. Главное из них — замкнутость (изолированность) механической системы. Замкнутой называют систему тел, на которую не действуют внешние силы или векторная сумма всех внешних сил равна нулю:

F_внеш = 0 → p₁ + p₂ + ... + pₙ = const

На практике абсолютно замкнутые системы встречаются редко, однако ЗСИ можно применять в двух важнейших частных случаях:

1. Проекция на выделенную ось. Если сумма внешних сил равна нулю вдоль определенной оси (например, Ox), то проекция суммарного импульса на эту ось сохраняется: Σ p_x = const. Сила тяжести или сила реакции опоры по вертикали не мешают сохранению импульса по горизонтали при отсутствии трения.

2. Кратковременное взаимодействие. При взрывах, выстрелах и соударениях внутренние силы взаимодействия во много раз превышают внешние силы (силу тяжести, силу сопротивления), а время взаимодействия Δt ничтожно мало. За этот миг внешние силы не успевают заметно изменить импульс системы.

Отработать выбор осей проекции и потренироваться в решении базовых уравнений ты можешь через личный кабинет ученика, где собраны интерактивные подсказки к задачам.

Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары

В механике выделяют две предельные модели механического соударения тел, которые регулярно встречаются в вариантах ОГЭ и профильного экзамена. Разница между ними заключается в сохранении механической энергии.

При абсолютно неупругом ударе тела после столкновения соединяются и продолжают двигаться как единое целое с общей конечной скоростью u. При этом часть механической энергии неизбежно переходит во внутреннюю энергию (нагрев, деформацию тел).

При абсолютно упругом ударе механическая энергия системы не расходуется на остаточную деформацию или тепло. В такой системе одновременно выполняются два фундаментальных закона: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

Тип удара	Закон сохранения импульса	Механическая энергия	Состояние тел после удара
Абсолютно неупругий	m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁ + m₂)·u	E_к1 > E_к2 (выделяется тепло Q)	Движутся слитно с единой скоростью u
Абсолютно упругий	m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·u₁ + m₂·u₂	E_к1 = E_к2 (полная кинетическая энергия сохраняется)	Разлетаются с разными скоростями u₁ и u₂

Реактивное движение и отдача

Реактивным называют движение тела, возникающее при отделении от него некоторой части с определенной скоростью. Классические примеры: полет ракеты, движение медузы или отдача артиллерийского орудия при залпе.

Рассмотрим неподвижную ракету стартовой массой M. При сгорании топлива назад выбрасывается порция газов массой m_г со скоростью v_г относительно земли. Так как до старта система покоилась, ее начальный импульс был равен нулю. По закону сохранения импульса в проекции на направление полета:

0 = (M - m_г) · v_р - m_г · v_г
v_р = (m_г · v_г) / (M - m_г)

Скорость ракеты направлена противоположно скорости истечения струи газов. Принципиальное преимущество реактивного движения заключается в том, что ракете не нужна внешняя опора (воздух или твердая поверхность), поэтому она способна ускоряться в глубоком космическом вакууме.

Аналогично описывается отдача при выстреле из ружья: тяжелый приклад получает малую скорость отдачи назад, а легкая пуля приобретает огромную начальную скорость вперед, сохраняя общий нулевой импульс замкнутой системы.

Разбор типовой задачи из профильного экзамена

Тележка массой M = 3 кг движется по гладким горизонтальным рельсам со скоростью v₁ = 4 м/с и догоняет вторую тележку массой m = 1 кг, движущуюся в том же направлении со скоростью v₂ = 2 м/с. Происходит абсолютно неупругое соударение. Найдем скорость сцепки u и количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

Дано:
\( M = 3 \text{кг} \)
\( m = 1 \text{кг} \)
\( v_1 = 4 \text{м/с} \)
\( v_2 = 2 \text{м/с} \)
Найти: u — ?, Q — ?

Решение:
1) Внешние силы (тяжести и реакции рельсов) скомпенсированы по вертикали. Трения нет, поэтому импульс вдоль горизонтальной оси Ox сохраняется:
\( M \cdot v_1 + m \cdot v_2 = (M + m) \cdot u \)

2) Выразим общую скорость совместного движения:
\( u = \dfrac{M \cdot v_1 + m \cdot v_2}{M + m} \)
\( u = \dfrac{3 \cdot 4 + 1 \cdot 2}{3 + 1} = \dfrac{12 + 2}{4} = \dfrac{14}{4} = 3,5 \text{м/с} \)

3) Кинетическая энергия системы до соударения:
\( E_1 = \dfrac{M \cdot v_1^2}{2} + \dfrac{m \cdot v_2^2}{2} \)
\( E_1 = \dfrac{3 \cdot 4^2}{2} + \dfrac{1 \cdot 2^2}{2} = \dfrac{3 \cdot 16}{2} + \dfrac{1 \cdot 4}{2} = 24 + 2 = 26 \text{Дж} \)

4) Кинетическая энергия системы после соударения:
\( E_2 = ((M + m) \cdot u^2) / 2 \)
\( E_2 = \dfrac{4 \cdot 3,5^2}{2} = 2 \cdot 12,25 = 24,5 \text{Дж} \)

5) По закону сохранения энергии потеря кинетической энергии перешла в тепло:
\( Q = E_1 - E_2 = 26 - 24,5 = 1,5 \text{Дж} \)

Ответ: u = 3,5 м/с; Q = 1,5 Дж

Хочешь научиться оформлять задачи второй части без риска потерять баллы за критерии? Переходи в бесплатный тренажер, чтобы разобрать готовые критериальные решения задач с экспертными комментариями.

Что запомнить и как тренироваться

Чтобы без ошибок решать задачи на закон сохранения импульса, держи в голове ключевые правила:

1. Импульс тела p = m · v — это вектор. Складывать импульсы можно только геометрически или через проекции на координатные оси.
2. Импульс силы F · Δt равен изменению импульса тела Δp.
3. ЗСИ строго применим для замкнутых систем, в проекциях на ось при равенстве нулю проекций внешних сил, а также при быстрых взаимодействиях (ударах, взрывах).
4. При неупругом ударе тела движутся вместе, а механическая энергия уменьшается на величину выделившегося тепла Q.

Сделай следующий шаг к высоким баллам: прямо сейчас открой платформу «Просто Урок», зарегистрируйся и реши 5 тематических задач бесплатно, чтобы закрепить навык проецирования векторов на реальных заданиях экзамена.