Числовые неравенства и промежутки

Что такое числовое неравенство

Неравенство — это запись, где два выражения соединены знаком >, <, ≥ или ≤. Например, 3x + 2 > 11. Решить — значит найти все значения переменной, при которых запись верна. Таких значений обычно бесконечно много, поэтому ответ — не число, а промежуток.

Основа — знакомое сравнение чисел: 7 > 3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, оно останется верным. На этом строятся все преобразования.

7 > 3, значит 7 + 2 > 3 + 2 и 7 − 2 > 3 − 2

Правила преобразования неравенств

Решение похоже на уравнение: переносим слагаемые, приводим подобные, делим на коэффициент. Отличие одно — знак может измениться. Достаточно трёх правил.

1. К обеим частям можно прибавить одно и то же число или вычесть его — знак не меняется.
2. Обе части можно умножить или разделить на положительное число — знак не меняется.
3. Обе части можно умножить или разделить на отрицательное число — знак меняется на противоположный: > становится <, ≥ становится ≤.

если c > 0: a > b ⇒ ac > bc

если c < 0: a > b ⇒ ac < bc

Правило 3 — главный источник ошибок. Пример: −2x > 6. Делим на −2 и переворачиваем знак: x < −3. Если забыть про смену знака, получится неверное x > −3.

Строгие и нестрогие знаки

Знаки > и < называют строгими: граничная точка в ответ не входит. Знаки ≥ и ≤ — нестрогими: точка входит в ответ. Разница мелкая, но она решает, пустой кружок на прямой или закрашенный, скобка круглая или квадратная.

Ответ x > 4 — все числа больше четырёх, само 4 не подходит. Ответ x ≥ 4 включает и четвёрку. Слова «не меньше» и «не больше» в задачах означают нестрогий знак.

Числовая прямая: изображаем решение

Любое решение удобно показать на числовой прямой. Отмечаем граничную точку: входит в ответ — закрашиваем кружок, нет — оставляем пустым. Затем штрихуем сторону с решениями.

1. x > 2 — пустой кружок на 2, штриховка вправо.
2. x ≤ 2 — закрашенный кружок на 2, штриховка влево.
3. −1 < x ≤ 3 — пустой кружок на −1, закрашенный на 3, штриховка между ними.

Прямая помогает проверить себя: подставь любую точку из заштрихованной части в исходное неравенство. Верно — направление выбрано правильно.

Промежутки: как записать ответ

Ответ неравенства записывают промежутком. Круглая скобка означает, что точка не входит, квадратная — что входит. Рядом с бесконечностью всегда ставят круглую скобку: бесконечность не число, «дойти» до неё нельзя.

\( x > 5 \to (5; +\infty ) \)

x ≤ −2 → (−∞; −2]

−1 < x ≤ 3 → (−1; 3]

Промежутки бывают ограниченные, как отрезок [2; 5], и неограниченные, как луч (−∞; 0). Вся прямая записывается как (−∞; +∞) — ответ «при любом x». Два куска соединяют знаком объединения ∪ — пригодится в теме про квадратные неравенства.

Примеры решения по шагам

Пример 1. Реши неравенство 4x − 9 ≤ 11.

1. Переносим −9 вправо, меняя знак: 4x ≤ 20.
2. Делим обе части на 4 — число положительное, знак сохраняется: x ≤ 5.
3. Пятёрка входит в ответ: точка закрашена, скобка квадратная.
4. Ответ: x ∈ (−∞; 5].

Пример 2. Реши неравенство −3x + 1 > 10.

1. Переносим 1 вправо: −3x > 9.
2. Делим на −3 — число отрицательное, знак переворачиваем: x < −3.
3. Точка −3 не входит: кружок пустой, скобка круглая.
4. Ответ: x ∈ (−∞; −3).

Заметь: во втором примере ответ «ушёл» влево, хотя в условии стояло «больше», — так бывает после деления на минус. Проверка: при x = −4 получаем 13, а 13 > 10 — верно; при x = −3 выходит ровно 10 — ложно, точка выколота.

Неравенства — продолжение темы уравнений: перенос слагаемых тот же, добавился нюанс со знаком. Повтори решение линейных уравнений и уравнения с модулем — логика та же, а модуль подготовит тебя и к двойным неравенствам.

Запомни три вещи: знак меняется при делении на минус, точка включается только при ≥ и ≤, рядом с бесконечностью скобка всегда круглая. Этого достаточно, чтобы неравенства стали лёгкими баллами. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.