Уравнения с модулем

Что такое модуль

Модуль числа — это его расстояние до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому |7| = 7 и |−7| = 7.

|a| = a, если a ≥ 0; |a| = −a, если a < 0

Вторая строка объясняет, как быть с отрицательными числами: минус выносится наружу. Например, |−4| = −(−4) = 4 — просто аккуратный учёт знака.

Отсюда главный вывод: под модулем всегда прячется неотрицательное число — на этом держится и решение уравнений, и половина ловушек.

Раскрытие по определению

Раскрыть модуль — значит убрать рельсы и разобрать оба случая: плюс и минус под ними. Универсальный алгоритм такой.

1. Приравняй выражение под модулем к нулю и найди граничную точку.
2. Разбей числовую прямую этой точкой на промежутки.
3. На каждом промежутке раскрой модуль по определению и реши уравнение.
4. Отбрось корни, которые не попали в свой промежуток.

Тот же приём называют методом интервалов для модуля. Он выручает, когда под рельсами стоит целое выражение или когда модулей несколько.

Пример 1. Простейшее уравнение |x| = a

Решим |x| = 5. Вопрос звучит так: какие точки лежат на расстоянии пяти от нуля? Ровно две — справа и слева.

|x| = 5 → x = 5 или x = −5

1. Проверяем: |5| = 5 и |−5| = 5 — подходят обе.
2. Ответ: x = 5; x = −5.

А теперь измени правую часть: |x| = −3. Отрицательного расстояния не бывает, поэтому корней нет. Это классическая ловушка — рука тянется написать x = 3 и x = −3 по привычке.

|x| = −3 → корней нет

Пример 2. Уравнение вида |x − b| = c

Решим |x − 3| = 5. На языке расстояний: точка x сидит на расстоянии пяти от тройки. Снова два кандидата.

1. Раскрываем по определению: x − 3 = 5 или x − 3 = −5.
2. Первая ветвь даёт x = 8, вторая — x = −2.
3. Проверка: |8 − 3| = 5 и |−2 − 3| = |−5| = 5. Обе подходят.
4. Ответ: x = 8; x = −2.

Прикидка: корни обязаны лежать симметрично относительно тройки — середина между 8 и −2 как раз 3. Ответ правдоподобен ещё до подстановки.

Пример 3. Два модуля: |x − 1| + |x − 3| = 4

Когда модулей два, простое «плюс-минус» не сработает — случаев четыре. Спасает метод интервалов.

1. Нули подмодульных выражений: x = 1 и x = 3. Они режут прямую на три промежутка.
2. При x < 1 оба выражения под модулями отрицательны: (1 − x) + (3 − x) = 4, откуда x = 0. Точка 0 лежит в своём промежутке — подходит.
3. При 1 ≤ x < 3 модули раскрываются с разными знаками: (x − 1) + (3 − x) = 2. Слева всегда 2, уравнение 2 = 4 корней не даёт.
4. При x ≥ 3 оба выражения положительны: (x − 1) + (x − 3) = 4, откуда x = 4. Попадает в промежуток — подходит.
5. Ответ: x = 0; x = 4.

Проверка расстояниями: от нуля до точек 1 и 3 сумма равна 1 + 3 = 4, от четвёрки — 3 + 1 = 4. Сходится. Внутри отрезка решений нет: там сумма всегда равна двум.

Частые ошибки

Ошибки в этой теме типовые и лечатся вниманием к определению.

• Потерять отрицательную ветвь. Раскрыв |x| = a, записывают только x = a и забывают про x = −a. Случаев всегда два, кроме a = 0.
• Убирать рельсы без разбора. Запись |−3| = −3 — грубая ошибка: модуль отрицательного числа равен противоположному, то есть 3.
• Возводить в квадрат бездумно. Приём рабочий, но равенство |x| = −2 он превращает в x² = 4 и подсовывает посторонние корни ±2. Правая часть обязана быть неотрицательной.
• Не проверять промежуток. В методе интервалов корень должен лежать внутри своего промежутка. Чужой корень — посторонний.

Уравнения с модулем опираются на те же навыки, что и обычные. Если раскрытие идёт туго, повтори линейные уравнения, а если путаешься в промежутках — числовые неравенства и промежутки. Метод интервалов пригодится и дальше: им же решаются квадратные неравенства.

Модуль встречается и в вычислениях, и в графиках функций, а актуальный перечень заданий экзамена лучше уточнить на официальном сайте ФИПИ. Три примера выше закрывают почти все школьные сюжеты — доведи их до автоматизма. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.