Просто УрокКвадратные неравенства: метод интервалов
Квадратные неравенства пугают видом, но решаются по одной схеме: перенести всё влево, найти корни, понять, где парабола выше оси, а где ниже. Разбираем метод интервалов и два примера по шагам — от неравенства до готового ответа.
Как выглядит квадратное неравенство
Квадратным называют неравенство, в котором слева стоит квадратный трёхчлен, а справа ноль:
ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≤ 0, где a ≠ 0
Решить его — найти все значения x, при которых оно верно. Таких значений обычно бесконечно много, поэтому ответ записывают промежутками. Если не помнишь, как работают скобки, сначала загляни в статью про числовые неравенства и промежутки.
Парабола: почему метод работает
График функции y = ax² + bx + c — парабола. При a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз. Корни трёхчлена — точки, где парабола пересекает ось x: в них y = 0.
Ключевая мысль: неравенство > 0 спрашивает, где парабола выше оси, а < 0 — где ниже. Достаточно найти корни и посмотреть, где какой знак: между корнями и снаружи они чередуются. На этом построен метод интервалов.
Метод интервалов: алгоритм из пяти шагов
- Перенеси всё в левую часть, чтобы справа остался ноль.
- Найди корни уравнения ax² + bx + c = 0 через дискриминант: D = b² − 4ac.
- Отметь корни на числовой прямой. При строгом знаке (>, <) точки выколотые — пустые кружки, при нестрогом (≥, ≤) — закрашенные.
- Определи знаки на получившихся промежутках: подставь удобную пробную точку из каждого куска в трёхчлен.
- Выбери промежутки с нужным знаком и запиши ответ.
Запомни: если a > 0, то снаружи корней трёхчлен положителен, а между корнями — отрицателен. При a < 0 наоборот. Пробная точка всё равно надёжнее — проверяй ею.
Если старший коэффициент отрицательный, умножь всё неравенство на −1 — и не забудь перевернуть знак. С параболой ветвями вверх и плюсом слева ошибок всегда меньше, чем с минусом перед иксом.
Пример 1: строгое неравенство
Реши неравенство x² − 5x + 6 > 0.
- Всё уже слева, справа ноль — шаг переноса пропускаем.
- Находим корни: D = 25 − 24 = 1, значит x = (5 ± 1) / 2, то есть 2 и 3.
- Знак строгий — обе точки выколотые, кружки пустые.
- Пробная точка x = 0: 6 > 0 — верно, снаружи корней плюс. Между 2 и 3 возьмём x = 2,5: 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 — минус.
- Нужен плюс: подходят куски слева от 2 и справа от 3.
- Ответ: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
Проверка взглядом: парабола ветвями вверх пересекает ось в точках 2 и 3, выше оси — как раз снаружи корней.
Потренируй метод интервалов в тренажёре
В тренажёре ОГЭ выбери нужный номер, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Пример 2: нестрогое и минус перед иксом
Реши неравенство −x² + 2x + 3 ≤ 0.
- Умножаем обе части на −1, знак переворачивается: x² − 2x − 3 ≥ 0.
- Находим корни: D = 4 + 12 = 16, значит x = (2 ± 4) / 2, то есть −1 и 3.
- Знак нестрогий — точки закрашенные.
- Ветви вверх, нужен минимальный знак «≥ 0» — это снаружи корней.
- Проверка точкой x = 0: 0 − 0 − 3 = −3, а −3 ≥ 0 — ложно. Ноль между корнями действительно не подходит.
- Ответ: x ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞).
В ответе квадратные скобки: неравенство нестрогое, сами точки −1 и 3 подходят — при них трёхчлен равен нулю.
Как записать ответ без ошибок
Три типичные ситуации. «Больше нуля» при ветвях вверх — два луча, в ответе объединение знаком ∪. «Меньше нуля» — один интервал между корнями. И особые случаи:
D = 0: (x − a)² ≥ 0 → (−∞; +∞), а (x − a)² > 0 → все числа, кроме a
корней нет: при a > 0 и знаке «>» ответ (−∞; +∞), при знаке «<» решений нет
И не забывай про скобки: выколотая точка — круглая скобка, включённая — квадратная. Рядом с бесконечностью скобка всегда круглая.
Сделай финальную проверку одной точкой из ответа в исходном — не в перевёрнутом — неравенстве. Так ты ловишь сразу две ошибки: забытую смену знака при умножении на −1 и перепутанную скобку.
Метод интервалов опирается на соседние темы. Если путаешься в дискриминанте и корнях, повтори квадратные корни, а чтобы понимать параболу «вживую», загляни в материал про графики функций — там видно, откуда берутся знаки.
Итог простой: перенёс влево, нашёл корни, отметил точки, проверил знак пробной точкой, записал промежутки. Пять шагов — и квадратное неравенство решено. А если нужна помощь по пути, рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Когда в ответе два промежутка, а когда один?
Если старший коэффициент положительный, то неравенство «больше нуля» даёт два луча за корнями — их объединяют знаком ∪, а «меньше нуля» — один интервал между корнями.
Что делать, если дискриминант равен нулю?
Корень один, парабола касается оси. Для неравенства вида (x − a)² ≥ 0 ответ — вся прямая, потому что квадрат неотрицателен всегда. Для строгого (x − a)² > 0 подходят все числа, кроме самого a.
Что делать, если корней нет?
Парабола целиком выше или ниже оси. Если ветви вверх (a > 0) и знак неравенства «>», оно верно при любом x — ответ (−∞; +∞). Если знак «<», решений нет.
Можно ли умножать неравенство на −1?
Да, но знак неравенства обязательно меняется на противоположный. Так удобно делать, чтобы старший коэффициент стал положительным и парабола смотрела ветвями вверх.
Где встречаются квадратные неравенства на ОГЭ?
В заданиях первой части: нужно решить неравенство и выбрать номер подходящего промежутка. Актуальную структуру и типизацию уточняйте на официальном сайте ФИПИ.