Движение вдогонку

Пойми идею движения вдогонку

Задачи на движение вдогонку часто пугают несложным сюжетом, а путаницей в скоростях и времени. Разберём понятный алгоритм, чтобы ты мог уверенно решать такие задачи в классе, на контрольной и в экзаменационных вариантах.

В такой задаче один участник начинает путь раньше, а другой выходит позже, но движется быстрее. Например, папа выехал на велосипеде, а сын отправился за ним через 20 минут. Чтобы догнать папу, сын должен сначала «сократить» расстояние, которое тот успел проехать.

Главная величина здесь — скорость сближения. Она показывает, на сколько километров расстояние между участниками уменьшается за один час.

Если движутся в одном направлении и первый объект быстрее:
v сбл. = v₁ − v₂
где v₁ — скорость догоняющего, v₂ — скорость того, кто впереди.

Чем больше разность скоростей, тем быстрее произойдёт встреча. Если скорости одинаковы, догнать впереди идущего невозможно.

Составь схему и найди разрыв

Начинай решение не с формулы, а с короткой схемы. Отметь, кто стартовал первым, кто догоняет, какие скорости известны и сколько времени было у первого участника до старта второго.

Расстояние, которое успел пройти первый участник, называют начальным отрывом. Его можно найти так:

S₀ = v медленного × t₀
где S₀ — начальный отрыв, v медленного — скорость впереди идущего, t₀ — его преимущество по времени.

После старта догоняющего оба движутся одновременно. За каждый час догоняющий приближается на величину разности скоростей. Поэтому время погони вычисляют так:

t погони = S₀ ÷ (v быстрого − v медленного)

Следи за единицами измерения. Если скорость дана в километрах в час, время должно быть в часах. 20 минут — это ⅓ часа, а 45 минут — ¾ часа.

Для спокойной тренировки можно использовать бесплатную практику в личном кабинете «Просто Урок»: там удобно сразу проверять перевод минут в часы.

Реши задачу по шагам

Рассмотрим полный пример. Из дома в школу ученик вышел пешком со скоростью 5 км/ч. Через 20 минут вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через сколько времени после своего выезда велосипедист догонит ученика?

Сначала переводим время ожидания в часы: 20 минут = ⅓ часа. За это время ученик прошёл начальный отрыв:

\( S_0 = 5 \times ⅓ = 5⁄3 \text{км} \)

Теперь найдём скорость сближения. Велосипедист движется быстрее, поэтому вычитаем скорость пешехода из его скорости:

v сбл. = 15 − 5 = 10 км/ч

Осталось разделить отрыв на скорость сближения:

t = 5⁄3 ÷ 10 = 5⁄30 = ⅙ часа
⅙ часа = 10 минут

Ответ: велосипедист догонит ученика через 10 минут после своего выезда. Проверка полезна: за 10 минут велосипедист проедет 2,5 км, а пешеход за это же время — 5⁄6 км. Разница равна 5⁄3 км, то есть начальному отрыву.

Отличи время погони от общего времени

В задачах часто спрашивают не одно и то же. «Через сколько минут после выезда второго» — это время погони. «Через сколько минут после выхода первого» — это общее время от начала движения первого участника.

Что требуется найти	Как рассуждать
Время погони	Начальный отрыв разделить на скорость сближения
Общее время первого	Время ожидания прибавить к времени погони
Место встречи	Скорость участника умножить на его время движения

Например, если второй догонял 10 минут, а первый стартовал на 20 минут раньше, то встреча произошла через 30 минут после выхода первого. Это разные ответы, хотя речь идёт об одной встрече.

t общее = t₀ + t погони

Иногда известны расстояние между объектами и время погони. Тогда можно найти скорость сближения:

v сбл. = S₀ ÷ t

В бесплатном кабинете «Просто Урок» можно закрепить этот навык на коротких заданиях с разными формулировками вопроса.

Не попади в типичные ловушки

Первая ошибка — сложить скорости. При движении навстречу скорости складывают, но при движении вдогонку вычитают. Участники едут в одну сторону, поэтому расстояние между ними уменьшается только на разность скоростей.

Вторая ошибка — использовать общее время вместо времени погони. Пока второй участник ещё не стартовал, скорость сближения не работает. Сначала нужно найти отрыв, затем считать погоню.

Третья ошибка — забыть проверить ответ. Если догоняющий быстрее всего на 2 км/ч, а отрыв равен 10 км, погоня займёт 5 часов. Ответ может быть большим, но он логичен.

Четвёртая ошибка — округлять слишком рано. Сначала реши задачу точно, например получи ⅙ часа, а уже потом переводи результат в минуты.

Что запомнить перед самостоятельной работой

В задаче вдогонку сначала найди начальный отрыв: скорость первого участника умножь на время его преимущества. Затем вычисли скорость сближения как разность скоростей. После этого раздели отрыв на скорость сближения.

1. Перевести все величины в согласованные единицы.
2. Найти начальный отрыв S₀.
3. Найти скорость сближения v₁ − v₂.
4. Вычислить время погони.
5. Проверить смысл ответа и при необходимости прибавить время ожидания.

Запомни ключевую мысль: догоняющий каждую единицу времени сокращает расстояние не на свою скорость, а только на разность скоростей. Это правило помогает не зависеть от сюжета про велосипедистов, автобусы, машины или спортсменов.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме бесплатно. После каждого ответа отмечай, что именно обозначает найденное время.