Формулы приведения: сводная таблица

Зачем нужны формулы приведения

Если в примере встречаются sin(180° − α), cos(90° + α) или tg(270° − α), легко запутаться в знаках и названиях функций. Эта шпаргалка поможет быстро свести любой угол к знакомому α и решить задание без угадывания.

Формулы приведения работают с углами, записанными через 0°, 90°, 180°, 270° или 360° и некоторый угол α. Главное — определить две вещи: изменится ли функция и какой знак будет у результата.

\( \sin (90^\circ - \alpha ) = \cos \alpha \)
Применяй, когда рядом с 90° стоит вычитание: синус превращается в косинус.

\( \cos (90^\circ - \alpha ) = \sin \alpha \)
Косинус угла, дополненного до 90°, заменяется синусом.

\( \tg (90^\circ - \alpha ) = \ctg \alpha \)
Тангенс и котангенс при переходе через 90° меняются местами.

\( \ctg (90^\circ - \alpha ) = \tg \alpha \)
Используй ту же идею для котангенса.

Например, sin 70° = sin(90° − 20°) = cos 20°. Ты не считаешь значение заново, а узнаёшь его через более удобную функцию.

Сводная таблица всех основных формул

В таблице собраны самые частые случаи. Знак перед функцией определяется не только видом формулы, но и четвертью, в которой находится исходный угол.

Выражение	Результат	Что меняется
sin(90° − α)	cos α	функция
cos(90° − α)	sin α	функция
sin(90° + α)	cos α	функция и знак
cos(90° + α)	−sin α	функция и знак
sin(180° − α)	sin α	только знак
cos(180° − α)	−cos α	только знак
tg(180° + α)	tg α	период
sin(360° − α)	−sin α	только знак

\( \sin (90^\circ + \alpha ) = \cos \alpha \)
Синус меняет название на косинус; знак определяется положением угла.

\( \cos (90^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha \)
Косинус превращается в синус и получает минус.

\( \tg (90^\circ + \alpha ) = -\ctg \alpha \)
Тангенс меняется на котангенс, а знак становится отрицательным.

Для закрепления таблицу удобно переписать один раз от руки, а затем закрыть правую колонку и восстановить её по памяти.

Формулы для 180°, 270° и 360°

При 180° и 360° функция обычно сохраняется. При 270° синус и косинус меняются местами, как при 90°. Не пытайся запоминать длинные цепочки: представь угол на координатной окружности и проверь знак.

\( \sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha \)
Синус во второй четверти положительный, название функции сохраняется.

\( \cos (180^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha \)
Косинус во второй четверти отрицательный.

\( \tg (180^\circ - \alpha ) = -\tg \alpha \)
Тангенс во второй четверти отрицательный.

\( \ctg (180^\circ - \alpha ) = -\ctg \alpha \)
Котангенс также получает минус.

\( \sin (180^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha \)
В третьей четверти синус отрицателен.

\( \cos (180^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha \)
Косинус в третьей четверти отрицателен.

\( \tg (180^\circ + \alpha ) = \tg \alpha \)
Тангенс имеет период 180°.

\( \sin (360^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha \)
В четвёртой четверти синус отрицателен.

\( \cos (360^\circ - \alpha ) = \cos \alpha \)
Косинус в четвёртой четверти положителен.

\( \tg (360^\circ - \alpha ) = -\tg \alpha \)
Тангенс в четвёртой четверти отрицателен.

Пример: cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√3⁄2. Здесь угол сразу показывает нужный знак.

Как не ошибиться со знаком и функцией

Удобный алгоритм состоит из четырёх шагов. Сначала выдели опорный угол: 90°, 180°, 270° или 360°. Затем определи, к какой четверти относится угол. После этого реши, меняется ли функция. В конце поставь знак.

Правило смены функции простое: если в основе выражения 90° или 270°, синус меняется на косинус, а тангенс на котангенс. Если в основе 180° или 360°, название функции сохраняется.

\( \sin (270^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha \)
При переходе через 270° синус становится косинусом; в четвёртой четверти знак отрицательный.

\( \cos (270^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha \)
Косинус меняется на синус и остаётся отрицательным.

\( \tg (270^\circ - \alpha ) = \ctg \alpha \)
Тангенс меняется на котангенс; в этом случае знак положительный.

\( \sin (270^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha \)
Синус меняется на косинус, а угол попадает в третью четверть.

\( \cos (270^\circ + \alpha ) = \sin \alpha \)
Косинус меняется на синус и становится положительным.

Проверь себя на примере: sin 240° = sin(270° − 30°) = −cos 30° = −√3⁄2. Ошибка чаще всего появляется, когда ученик меняет функцию, но забывает про знак.

Тренировка: проверь формулы на практике

Решай задания по алгоритму и не заглядывай в ответы сразу. В первых примерах достаточно привести выражение к α. В последних нужно ещё вспомнить точное значение стандартного угла.

Задание 1: sin(90° − 35°) = ?
Ответ: cos 35°.

Задание 2: cos(180° − 60°) = ?
Ответ: −cos 60° = −1⁄2.

Задание 3: tg(180° + 45°) = ?
Ответ: tg 45° = 1.

Задание 4: sin(360° − 30°) = ?
Ответ: −sin 30° = −1⁄2.

Задание 5: cos(270° + 60°) = ?
Ответ: sin 60° = √3⁄2.

Задание 6: tg(90° − 30°) = ?
Ответ: ctg 30° = √3.

Теперь составь два собственных примера: один с 90°, другой с 180°. Объясни письменно, почему функция изменилась или сохранилась и откуда взялся знак. Такая короткая запись полезнее механической зубрёжки.

Больше похожих заданий можно решить в бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок»: открыть кабинет.

Что запомнить перед контрольной

Запомни главную схему: 90° и 270° меняют функцию, 180° и 360° сохраняют её. Знак определяй по четверти: синус положителен в первой и второй, косинус в первой и четвёртой, тангенс в первой и третьей.

Для быстрого решения проговаривай формулу по частям: опорный угол, четверть, смена функции, знак. Например: «270° плюс α, третья четверть, синус меняется на косинус, знак минус».

Не смешивай формулы приведения с формулами сложения. Здесь не нужно раскрывать скобки и применять синус суммы. Цель приведения — заменить сложный угол знакомым.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме в тренажёре. После проверки вернись к этой таблице и отметь формулу, в которой была ошибка.