Таблица квадратов и степеней: шпаргалка

Квадраты чисел: быстрый способ считать в уме

Если квадраты чисел путаются, задачи на формулы и уравнения занимают слишком много времени. Эта шпаргалка поможет быстро находить квадраты, понимать запись степени и выбирать нужное правило без механического заучивания.

Степень показывает, сколько раз число умножают само на себя. В записи 5² число 5 называют основанием, а 2 — показателем степени.

\( a^2 = a \cdot a \)
Квадрат числа — это произведение числа самого на себя.

\( a^3 = a \cdot a \cdot a \)
Куб числа — это произведение трёх одинаковых множителей.

\( aⁿ = a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a \)
Показатель n показывает количество множителей a.

Основная таблица квадратов пригодится при устном счёте, преобразовании выражений и решении квадратных уравнений.

Число	Квадрат	Число	Квадрат
1	1	6	36
2	4	7	49
3	9	8	64
4	16	9	81
5	25	10	100
11	121	12	144
13	169	14	196
15	225	20	400

\( 12^2 = 12 \cdot 12 = 144 \)
Применяй, когда нужно заменить квадрат произведением.

\( 0^2 = 0; 1^2 = 1 \)
Ноль и единица сохраняют свои особые свойства при возведении в степень.

Таблица степеней и свойства показателей

Таблица помогает увидеть закономерность: при увеличении показателя каждый следующий результат умножается на основание. Для отрицательных чисел важно заключать основание в скобки.

\( 2^1 = 2; 2^2 = 4; 2^3 = 8; 2^4 = 16; 2^5 = 32; 2^6 = 64 \)
Используй последовательное умножение, если показатель небольшой.

\( 3^1 = 3; 3^2 = 9; 3^3 = 27; 3^4 = 81; 3^5 = 243 \)
Эта цепочка часто встречается в заданиях на степени и системы счисления.

10ⁿ = 1 с n нулями
Правило удобно для быстрых вычислений с круглыми числами.

\( a^1 = a \)
Любое число в первой степени равно самому себе.

a⁰ = 1, если a ≠ 0
Нулевая степень встречается при сокращении одинаковых множителей.

\( aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ^+ⁿ \)
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

\( aᵐ : aⁿ = aᵐ^-ⁿ \)
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

\( (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ \)
При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Формулы сокращённого умножения для квадратов

Эти формулы позволяют считать быстрее и раскрывать скобки. Особенно полезны они тогда, когда числа близки к круглым: 49, 51, 98 или 102.

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Применяй для квадрата суммы двух выражений.

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Применяй для квадрата разности; знак среднего слагаемого будет минус.

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности.

\( 51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 \)
Представь число как круглое число плюс небольшую добавку.

\( 98^2 = (100 - 2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604 \)
Для числа около 100 удобнее использовать квадрат разности.

\( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)
Трёхчлен является квадратом суммы, если крайние части — квадраты, а средняя равна их удвоенному произведению.

Проверка проста: перемножь первые и последние слагаемые в скобках. Если средний член не совпал, формулу применять нельзя.

Отрицательные, дробные и десятичные степени

Знак числа и знак показателя — разные вещи. При чётном показателе минус исчезает, а при нечётном сохраняется.

\( (-a)^2 = a^2 \)
Чётная степень отрицательного числа положительна.

\( (-a)^3 = -a^3 \)
Нечётная степень сохраняет отрицательный знак.

−a² = −(a²), но (−a)² = a²
Скобки показывают, входит ли минус в основание степени.

a⁻ⁿ = 1 : aⁿ, если a ≠ 0
Отрицательный показатель означает обратное число.

\( 2^-^3 = 1 : 2^3 = 1 : 8 = \dfrac{1}{8} \)
Сначала возведи основание в положительную степень, затем возьми обратное число.

\( a^1⁄ⁿ = ⁿ\sqrt{a} \)
Дробный показатель связан с корнем n-й степени.

\( 25^0 \cdot ^5 = \sqrt{2}5 = 5 \)
Показатель 0,5 можно заменить квадратным корнем.

С десятичными числами удобно работать через разложение. Например, 0,2² = 0,04, потому что 2² = 4, а всего после запятой в двух множителях две пары десятичных знаков.

Если сомневаешься, перепиши степень как умножение. Этот способ медленнее, зато помогает проверить знак и порядок действий.

Как применять степени в задачах

В школьных заданиях степень встречается не только в вычислениях. Она описывает площадь квадрата, объём куба, научную запись числа и преобразование буквенных выражений.

\( S = a^2 \)
Площадь квадрата со стороной a находится через квадрат стороны.

\( V = a^3 \)
Объём куба со стороной a находится через куб его ребра.

\( (2x)^2 = 4x^2 \)
При возведении произведения в квадрат в квадрат возводятся оба множителя.

\( (ab)ⁿ = aⁿbⁿ \)
Степень произведения равна произведению степеней множителей.

\( (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, b \ne 0 \)
Степень частного можно распределить между числителем и знаменателем.

\( 4^2 \cdot 4^3 = 4^5 = 1024 \)
Одинаковое основание позволяет сложить показатели.

\( 7^5 : 7^2 = 7^3 = 343 \)
При делении одинаковых оснований вычти меньший показатель из большего.

Пример из геометрии: если сторона квадрата равна 8 см, то S = 8² = 64 см². Единица измерения тоже возводится в степень: у площади это квадратные сантиметры, у объёма — кубические.

После разбора можно открыть бесплатную практику «Просто Урок» и проверить, какое правило подходит именно к твоему типу задания.

Что запомнить и как потренироваться

Квадрат — это степень с показателем 2, куб — степень с показателем 3. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, а при возведении степени в степень перемножаются.

Для квадратов суммы и разности не забывай средний член 2ab. Разность квадратов раскладывается на сумму и разность. В записи с отрицательным числом всегда проверяй скобки: −a² и (−a)² дают разные знаки.

Мини-тренировка:

1) 14²
2) (20 − 3)²
3) 5² · 5³
4) (−2)⁴
5) x² − 25

Ответы: 196; 289; 5⁵, или 3125; 16; (x − 5)(x + 5). Сначала реши самостоятельно, а затем сравни результат и способ.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. Так ты закрепишь формулы не только в памяти, но и в действии.