Таблица квадратов и степеней: шпаргалка

Квадраты чисел: быстрый способ считать в уме

Если квадраты чисел путаются, задачи на формулы и уравнения занимают слишком много времени. Эта шпаргалка поможет быстро находить квадраты, понимать запись степени и выбирать нужное правило без механического заучивания.

Степень показывает, сколько раз число умножают само на себя. В записи 5² число 5 называют основанием, а 2 — показателем степени.

$a^2 = a \cdot a$
Квадрат числа — это произведение числа самого на себя.

$a^3 = a \cdot a \cdot a$
Куб числа — это произведение трёх одинаковых множителей.

$a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a$
Показатель n показывает количество множителей a.

Основная таблица квадратов пригодится при устном счёте, преобразовании выражений и решении квадратных уравнений.

Число	Квадрат	Число	Квадрат
1	1	6	36
2	4	7	49
3	9	8	64
4	16	9	81
5	25	10	100
11	121	12	144
13	169	14	196
15	225	20	400

$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$
Применяй, когда нужно заменить квадрат произведением.

$0^2 = 0; 1^2 = 1$
Ноль и единица сохраняют свои особые свойства при возведении в степень.

Таблица степеней и свойства показателей

Таблица помогает увидеть закономерность: при увеличении показателя каждый следующий результат умножается на основание. Для отрицательных чисел важно заключать основание в скобки.

$2^1 = 2; 2^2 = 4; 2^3 = 8; 2^4 = 16; 2^5 = 32; 2^6 = 64$
Используй последовательное умножение, если показатель небольшой.

$3^1 = 3; 3^2 = 9; 3^3 = 27; 3^4 = 81; 3^5 = 243$
Эта цепочка часто встречается в заданиях на степени и системы счисления.

10ⁿ = 1 с n нулями
Правило удобно для быстрых вычислений с круглыми числами.

$a^1 = a$
Любое число в первой степени равно самому себе.

a⁰ = 1, если a ≠ 0
Нулевая степень встречается при сокращении одинаковых множителей.

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

$a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Формулы сокращённого умножения для квадратов

Эти формулы позволяют считать быстрее и раскрывать скобки. Особенно полезны они тогда, когда числа близки к круглым: 49, 51, 98 или 102.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Применяй для квадрата суммы двух выражений.

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Применяй для квадрата разности; знак среднего слагаемого будет минус.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности.

$51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$
Представь число как круглое число плюс небольшую добавку.

$98^2 = (100 - 2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$
Для числа около 100 удобнее использовать квадрат разности.

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
Трёхчлен является квадратом суммы, если крайние части — квадраты, а средняя равна их удвоенному произведению.

Проверка проста: перемножь первые и последние слагаемые в скобках. Если средний член не совпал, формулу применять нельзя.

Отрицательные, дробные и десятичные степени

Знак числа и знак показателя — разные вещи. При чётном показателе минус исчезает, а при нечётном сохраняется.

$(-a)^2 = a^2$
Чётная степень отрицательного числа положительна.

$(-a)^3 = -a^3$
Нечётная степень сохраняет отрицательный знак.

−a² = −(a²), но (−a)² = a²
Скобки показывают, входит ли минус в основание степени.

a⁻ⁿ = 1 : aⁿ, если a ≠ 0
Отрицательный показатель означает обратное число.

$2^{-3} = 1 : 2^3 = 1 : 8 = \dfrac{1}{8}$
Сначала возведи основание в положительную степень, затем возьми обратное число.

$a^1/^{n} = ^{n}\sqrt{a}$
Дробный показатель связан с корнем n-й степени.

$25^0 \cdot ^5 = \sqrt{2}5 = 5$
Показатель 0,5 можно заменить квадратным корнем.

С десятичными числами удобно работать через разложение. Например, 0,2² = 0,04, потому что 2² = 4, а всего после запятой в двух множителях две пары десятичных знаков.

Если сомневаешься, перепиши степень как умножение. Этот способ медленнее, зато помогает проверить знак и порядок действий.

Как применять степени в задачах

В школьных заданиях степень встречается не только в вычислениях. Она описывает площадь квадрата, объём куба, научную запись числа и преобразование буквенных выражений.

$S = a^2$
Площадь квадрата со стороной a находится через квадрат стороны.

$V = a^3$
Объём куба со стороной a находится через куб его ребра.

$(2x)^2 = 4x^2$
При возведении произведения в квадрат в квадрат возводятся оба множителя.

$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$
Степень произведения равна произведению степеней множителей.

$(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}, b \ne 0$
Степень частного можно распределить между числителем и знаменателем.

$4^2 \cdot 4^3 = 4^5 = 1024$
Одинаковое основание позволяет сложить показатели.

$7^5 : 7^2 = 7^3 = 343$
При делении одинаковых оснований вычти меньший показатель из большего.

Пример из геометрии: если сторона квадрата равна 8 см, то S = 8² = 64 см². Единица измерения тоже возводится в степень: у площади это квадратные сантиметры, у объёма — кубические.

После разбора можно открыть бесплатную практику «Просто Урок» и проверить, какое правило подходит именно к твоему типу задания.

Что запомнить и как потренироваться

Квадрат — это степень с показателем 2, куб — степень с показателем 3. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, а при возведении степени в степень перемножаются.

Для квадратов суммы и разности не забывай средний член 2ab. Разность квадратов раскладывается на сумму и разность. В записи с отрицательным числом всегда проверяй скобки: −a² и (−a)² дают разные знаки.

Мини-тренировка:

1) 14²
2) (20 − 3)²
3) 5² · 5³
4) (−2)⁴
5) x² − 25

Ответы: 196; 289; 5⁵, или 3125; 16; (x − 5)(x + 5). Сначала реши самостоятельно, а затем сравни результат и способ.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. Так ты закрепишь формулы не только в памяти, но и в действии.