Просто УрокФормулы тригонометрии: сводная таблица
Разберём «Формулы тригонометрии: сводная таблица» так, чтобы тема наконец встала на место: короткая теория, наглядный пример, алгоритм и ошибки, на которых теряют баллы. В конце — что запомнить и где закрепить на практике.
Базовые формулы и значения углов
Тригонометрические формулы легко перепутать, особенно когда в задаче сразу несколько действий. На этой странице собраны основные равенства, пояснено, когда их применять, и добавлены короткие примеры для самостоятельной проверки.
В прямоугольном треугольнике синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — обратное отношение.
sin α = противолежащий катет / гипотенуза
Используй, когда известны сторона напротив угла и гипотенуза.
cos α = прилежащий катет / гипотенуза
Применяй, если даны прилежащий катет и гипотенуза.
tg α = sin α / cos α = противолежащий катет / прилежащий катет
Удобно находить угол или сторону без гипотенузы.
ctg α = cos α / sin α = прилежащий катет / противолежащий катет
Используй как обратную формулу тангенса.
\( \sin 0^\circ = 0, \cos 0^\circ = 1, \tg 0^\circ = 0 \)
Это базовые значения для проверки вычислений.
\( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2, \tg 30^\circ = \sqrt{3}/3 \)
Запомни набор для угла 30°.
\( \sin 45^\circ = \sqrt{2}/2, \cos 45^\circ = \sqrt{2}/2, \tg 45^\circ = 1 \)
При 45° синус и косинус равны.
\( \sin 60^\circ = \sqrt{3}/2, \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}, \tg 60^\circ = \sqrt{3} \)
Значения часто встречаются в заданиях ОГЭ.
Главные тождества для преобразований
Тождество верно при всех допустимых значениях переменной. Сначала определи, что требуется получить: убрать тангенс, свести всё к синусу и косинусу или найти неизвестное значение. После преобразования проверь область допустимых значений.
\( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \)
Главная формула: выражай sin² через 1 − cos² или наоборот.
\( \tg \alpha = \sin \dfrac{\alpha}{\cos} \alpha , \cos \alpha \ne 0 \)
Замени тангенс дробью, если рядом уже есть синус и косинус.
\( \ctg \alpha = \cos \dfrac{\alpha}{\sin} \alpha , \sin \alpha \ne 0 \)
Используй для перехода от котангенса к базовым функциям.
\( 1 + \tg ^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos ^2} \alpha \)
Применяй, когда в задаче встречается tg² и нужно избавиться от него.
\( 1 + \ctg ^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin ^2} \alpha \)
Эта форма удобна для выражений с ctg².
\( \sin ^2 \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha }{2} \)
Подходит для понижения степени синуса.
\( \cos ^2 \alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha }{2} \)
Используй для понижения степени косинуса.
Пример: если cos α = 3/5 и угол острый, то sin² α = 1 − 9/25 = 16/25, значит sin α = 4/5.
Если не знаешь, с чего начать, перепиши всё через sin и cos. Так большинство преобразований становится прозрачным.
Формулы сложения и разности углов
Эти формулы нужны, когда аргумент выглядит как сумма или разность: 75° = 45° + 30°, а 15° = 45° − 30°. Выбирай разложение, для которого известны табличные значения. Следи за знаками: во второй и четвёртой формулах знак перед вторым произведением меняется.
\( \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
Применяй для синуса суммы двух углов.
\( \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)
Используй для синуса разности.
\( \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
Запомни минус перед произведением синусов.
\( \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
В формуле разности косинусов появляется плюс.
\( \tg (\alpha + \beta ) = \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta }{1 - \tg \alpha \tg \beta } \)
Применяй, если известны тангенсы и знаменатель не равен нулю.
\( \tg (\alpha - \beta ) = \dfrac{\tg \alpha - \tg \beta }{1 + \tg \alpha \tg \beta } \)
Подходит для тангенса разности.
\( \ctg (\alpha + \beta ) = \dfrac{\ctg \alpha \ctg \beta - 1}{\ctg \alpha + \ctg \beta } \)
Используй при заданных котангенсах.
Пример: sin 75° = sin(45° + 30°) = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2 = (√6 + √2)/4.
Для дополнительной практики можно открыть бесплатный тренажёр в личном кабинете Просто Урок и сразу проверить такие разложения.
Двойной угол и обратные преобразования
Формулы двойного угла сокращают выражения, где встречается 2α. Обратные записи помогают разложить произведение или сумму квадратов. Перед выбором формулы посмотри, какие функции уже есть в условии.
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Замени произведение синуса и косинуса.
\( \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \)
Основная форма для разности квадратов.
\( \cos 2\alpha = 2 \cos ^2 \alpha - 1 \)
Используй, если дан cos α.
\( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin ^2 \alpha \)
Удобно, когда известен sin α.
\( \tg 2\alpha = 2 \tg \dfrac{\alpha}{1 - \tg ^2 \alpha } \)
Применяй при известном тангенсе угла α.
\( \sin \alpha \cos \beta = [\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta )] / 2 \)
Преобразуй произведение в сумму.
\( \cos \alpha \cos \beta = [\cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta )] / 2 \)
Используй для произведения двух косинусов.
\( \sin \alpha \sin \beta = [\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta )] / 2 \)
Подходит для произведения синусов.
Пример: 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2. Сначала узнай знакомую конструкцию, затем выбери короткую формулу.
Знаки, приведение и решение задач
Формулы приведения позволяют заменить угол на острый и определить знак по четверти. Удобный алгоритм: убери полный оборот, определи четверть, найди опорный угол, выбери знак функции. Для углов −α знак синуса меняется, а косинуса сохраняется.
| Формула | Результат | Когда применять |
|---|---|---|
| sin(90° − α) | cos α | Угол дополнение до 90° |
| cos(90° − α) | sin α | Меняются sin и cos |
| sin(180° − α) | sin α | Вторая четверть |
| cos(180° − α) | −cos α | Косинус отрицателен |
| sin(180° + α) | −sin α | Третья четверть |
| cos(360° − α) | cos α | Четвёртая четверть |
\( \sin (-\alpha ) = -\sin \alpha ; \cos (-\alpha ) = \cos \alpha ; \tg (-\alpha ) = -\tg \alpha \)
Используй свойства нечётности и чётности.
\( \sin (\alpha + 360^\circ k) = \sin \alpha ; \cos (\alpha + 360^\circ k) = \cos \alpha \)
Убирай полный оборот, где k — целое число.
\( \tg (\alpha + 180^\circ k) = \tg \alpha \)
Период тангенса равен 180°.
Не переносите знак автоматически вместе с углом. У синуса и тангенса знак меняется при смене знака аргумента, у косинуса нет.
В экзаменационных задачах ОГЭ полезно сначала упростить выражение, а уже потом подставлять числа. Подборка типовых заданий есть на странице подготовки к ОГЭ.
Что запомнить перед самостоятельной работой
Главная опора — sin² α + cos² α = 1. Для суммы и разности используй четыре формулы сложения, для 2α — формулы двойного угла. Табличные значения 0°, 30°, 45°, 60° и 90° экономят время. При любом преобразовании проверяй знаки, знаменатели и четверть.
Если видишь произведение sin α cos α, вспоминай sin 2α. Если встречается cos² α − sin² α, это cos 2α. Если угол отрицательный, сначала применяй чётность или нечётность функции, а затем считай.
Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме. Так ты проверишь не только память формул, но и умение выбирать нужную запись.
Для более длинного маршрута подготовки пригодятся материалы к ЕГЭ, где тригонометрия встречается в преобразованиях, уравнениях и задачах с параметрами.
Частые вопросы
Как закрепить тему после разбора?
Открой бесплатный личный кабинет Просто Урок и потренируйся в тренажёре: решай задания по одному типу и сразу разбирай ошибки.
Какую формулу учить первой?
Начни с sin² α + cos² α = 1, определений тангенса и котангенса, а затем выучи значения основных углов.
Почему в формулах сложения легко ошибиться?
У синуса знак совпадает со знаком между углами, а у косинуса меняется. Полезно каждый раз проговаривать формулу вслух.
Что делать, если угол больше 360°?
Вычти полный оборот 360° несколько раз и работай с оставшимся углом, учитывая период конкретной функции.
Не оставляйте тему «прочитанной»
Понимание — половина дела. Вторая половина — практика с обратной связью: личный кабинет Просто Урок покажет, где вы ошибаетесь, и подтянет слабые места.