Формулы тригонометрии: сводная таблица

Базовые формулы и значения углов

Тригонометрические формулы легко перепутать, особенно когда в задаче сразу несколько действий. На этой странице собраны основные равенства, пояснено, когда их применять, и добавлены короткие примеры для самостоятельной проверки.

В прямоугольном треугольнике синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — обратное отношение.

sin α = противолежащий катет / гипотенуза
Используй, когда известны сторона напротив угла и гипотенуза.

cos α = прилежащий катет / гипотенуза
Применяй, если даны прилежащий катет и гипотенуза.

tg α = sin αcos α = противолежащий катет / прилежащий катет
Удобно находить угол или сторону без гипотенузы.

ctg α = cos αsin α = прилежащий катет / противолежащий катет
Используй как обратную формулу тангенса.

$\sin 0^\circ = 0, \cos 0^\circ = 1, \tg 0^\circ = 0$
Это базовые значения для проверки вычислений.

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2, \tg 30^\circ = \sqrt{3}/3$
Запомни набор для угла 30°.

$\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2, \cos 45^\circ = \sqrt{2}/2, \tg 45^\circ = 1$
При 45° синус и косинус равны.

$\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2, \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}, \tg 60^\circ = \sqrt{3}$
Значения часто встречаются в заданиях ОГЭ.

Главные тождества для преобразований

Тождество верно при всех допустимых значениях переменной. Сначала определи, что требуется получить: убрать тангенс, свести всё к синусу и косинусу или найти неизвестное значение. После преобразования проверь область допустимых значений.

$\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1$
Главная формула: выражай sin² через 1 − cos² или наоборот.

$\tg \alpha = \sin \dfrac{\alpha}{\cos} \alpha , \cos \alpha \ne 0$
Замени тангенс дробью, если рядом уже есть синус и косинус.

$\ctg \alpha = \cos \dfrac{\alpha}{\sin} \alpha , \sin \alpha \ne 0$
Используй для перехода от котангенса к базовым функциям.

$1 + \tg ^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos ^2} \alpha$
Применяй, когда в задаче встречается tg² и нужно избавиться от него.

$1 + \ctg ^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin ^2} \alpha$
Эта форма удобна для выражений с ctg².

$\sin ^2 \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha }{2}$
Подходит для понижения степени синуса.

$\cos ^2 \alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha }{2}$
Используй для понижения степени косинуса.

Пример: если cos α = 3/5 и угол острый, то sin² α = 1 − 9/25 = 16/25, значит sin α = 4/5.

Формулы сложения и разности углов

Эти формулы нужны, когда аргумент выглядит как сумма или разность: 75° = 45° + 30°, а 15° = 45° − 30°. Выбирай разложение, для которого известны табличные значения. Следи за знаками: во второй и четвёртой формулах знак перед вторым произведением меняется.

$\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
Применяй для синуса суммы двух углов.

$\sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
Используй для синуса разности.

$\cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
Запомни минус перед произведением синусов.

$\cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
В формуле разности косинусов появляется плюс.

$\tg (\alpha + \beta ) = \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta }{1 - \tg \alpha \tg \beta }$
Применяй, если известны тангенсы и знаменатель не равен нулю.

$\tg (\alpha - \beta ) = \dfrac{\tg \alpha - \tg \beta }{1 + \tg \alpha \tg \beta }$
Подходит для тангенса разности.

$\ctg (\alpha + \beta ) = \dfrac{\ctg \alpha \ctg \beta - 1}{\ctg \alpha + \ctg \beta }$
Используй при заданных котангенсах.

Пример: sin 75° = sin(45° + 30°) = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2 = (√6 + √2)/4.

Для дополнительной практики можно открыть бесплатный тренажёр в личном кабинете Просто Урок и сразу проверить такие разложения.

Двойной угол и обратные преобразования

Формулы двойного угла сокращают выражения, где встречается 2α. Обратные записи помогают разложить произведение или сумму квадратов. Перед выбором формулы посмотри, какие функции уже есть в условии.

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
Замени произведение синуса и косинуса.

$\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha$
Основная форма для разности квадратов.

$\cos 2\alpha = 2 \cos ^2 \alpha - 1$
Используй, если дан cos α.

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin ^2 \alpha$
Удобно, когда известен sin α.

$\tg 2\alpha = 2 \tg \dfrac{\alpha}{1 - \tg ^2 \alpha }$
Применяй при известном тангенсе угла α.

$\sin \alpha \cos \beta = [\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta )] / 2$
Преобразуй произведение в сумму.

$\cos \alpha \cos \beta = [\cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta )] / 2$
Используй для произведения двух косинусов.

$\sin \alpha \sin \beta = [\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta )] / 2$
Подходит для произведения синусов.

Пример: 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2. Сначала узнай знакомую конструкцию, затем выбери короткую формулу.

Знаки, приведение и решение задач

Формулы приведения позволяют заменить угол на острый и определить знак по четверти. Удобный алгоритм: убери полный оборот, определи четверть, найди опорный угол, выбери знак функции. Для углов −α знак синуса меняется, а косинуса сохраняется.

Формула	Результат	Когда применять
sin(90° − α)	cos α	Угол дополнение до 90°
cos(90° − α)	sin α	Меняются sin и cos
sin(180° − α)	sin α	Вторая четверть
cos(180° − α)	−cos α	Косинус отрицателен
sin(180° + α)	−sin α	Третья четверть
cos(360° − α)	cos α	Четвёртая четверть

$\sin (-\alpha ) = -\sin \alpha ; \cos (-\alpha ) = \cos \alpha ; \tg (-\alpha ) = -\tg \alpha$
Используй свойства нечётности и чётности.

$\sin (\alpha + 360^\circ k) = \sin \alpha ; \cos (\alpha + 360^\circ k) = \cos \alpha$
Убирай полный оборот, где k — целое число.

$\tg (\alpha + 180^\circ k) = \tg \alpha$
Период тангенса равен 180°.

В экзаменационных задачах ОГЭ полезно сначала упростить выражение, а уже потом подставлять числа. Подборка типовых заданий есть на странице подготовки к ОГЭ.

Что запомнить перед самостоятельной работой

Главная опора — sin² α + cos² α = 1. Для суммы и разности используй четыре формулы сложения, для 2α — формулы двойного угла. Табличные значения 0°, 30°, 45°, 60° и 90° экономят время. При любом преобразовании проверяй знаки, знаменатели и четверть.

Если видишь произведение sin α cos α, вспоминай sin 2α. Если встречается cos² α − sin² α, это cos 2α. Если угол отрицательный, сначала применяй чётность или нечётность функции, а затем считай.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме. Так ты проверишь не только память формул, но и умение выбирать нужную запись.

Для более длинного маршрута подготовки пригодятся материалы к ЕГЭ, где тригонометрия встречается в преобразованиях, уравнениях и задачах с параметрами.