Логарифмы в текстовых задачах

Как распознать логарифм в текстовой задаче

Текстовые задачи с логарифмами часто пугают длинным условием, хотя обычно требуют перевести одну фразу на язык степеней. Ты научишься выделять неизвестную величину, составлять уравнение и проверять ответ по смыслу.

Логарифм появляется там, где неизвестен показатель степени. Например, бактерии размножаются в 2 раза каждый час, а нужно узнать, через сколько часов их станет в 16 раз больше. Здесь неизвестно число шагов роста: 2ˣ = 16.

Вспомни определение: logₐ b = x означает, что aˣ = b. Число a называют основанием, b — аргументом, x — значением логарифма. Основание должно быть положительным и не равным 1: a > 0, a ≠ 1. Аргумент тоже должен быть положительным: b > 0.

В условии ищи слова «во сколько раз», «каждый час», «увеличивается в 3 раза», «срок службы», «уровень громкости» или «pH». Они часто подсказывают показатель степени. Если величина меняется равномерно на одно и то же число, логарифм может не понадобиться.

В личном кабинете «Просто Урок» можно бесплатно потренироваться переводить такие фразы в математические модели.

Как составить модель по условию

Начни с трёх вопросов. Что было сначала? Во сколько раз или на сколько меняется величина за один шаг? Что нужно найти: количество шагов, начальное значение или конечный результат?

Для многократного увеличения используется модель N = N₀ × qᵗ. Здесь N₀ — начальное значение, q — множитель за один период, t — число периодов. Если неизвестно t, получаем qᵗ = N ÷ N₀, а затем t = log_q(N ÷ N₀).

Если величина уменьшается, множитель лежит между 0 и 1. Например, половина вещества распадается каждый час: q = ½. Тогда через t часов останется N₀ × (½)ᵗ.

Сначала приведи единицы к одному виду. Минуты не смешивай с часами, литры — с миллилитрами. Затем проверь, действительно ли изменение происходит одинаковое число раз за каждый период.

Фраза в условии	Математическая запись
Увеличивается в q раз за один шаг	N = N₀ × qᵗ
Уменьшается в q раз за один шаг	N = N₀ × qᵗ, 0 < q < 1
Найти число шагов	t = log_q(N ÷ N₀)

Разобранный пример: рост вклада

Разберём задачу, похожую на экзаменационную. На счёте было 20 000 рублей. Каждый год сумма увеличивалась в 1,1 раза. Через сколько лет она станет равна 26 620 рублей?

Сначала определим данные: N₀ = 20 000, q = 1,1, N = 26 620. Неизвестно число лет t. Составляем уравнение роста, а затем замечаем, что 26 620 ÷ 20 000 = 1,331.

\( 20 000 \times 1,1ᵗ = 26 620 \)
\( 1,1ᵗ = 1,331 \)
\( 1,1^3 = 1,331 \)
\( t = 3 \)

Ответ: сумма станет равна 26 620 рублям через 3 года. Здесь калькулятор не понадобился, потому что отношение оказалось точной степенью. Если число не распознаётся, используют формулу t = log_q(N ÷ N₀) или вычисляют значение на калькуляторе.

Проверка обязательна. Подставь найденное t обратно: 20 000 × 1,1³ = 26 620. Единица измерения ответа — годы, потому что один шаг модели соответствует одному году.

После разбора можно открыть бесплатную практику в кабинете «Просто Урок» и решить несколько задач с разными сюжетами.

Логарифмы в задачах про звук, кислотность и время

В некоторых задачах логарифм уже спрятан в определении величины. Например, уровень звука измеряют формулой L = 10 × log₁₀(I ÷ I₀), где I — интенсивность звука, а I₀ — порог слышимости. Если интенсивность стала в 100 раз больше, то уровень увеличился на 20 децибел, потому что log₁₀ 100 = 2.

В задачах на pH используется запись pH = −log₁₀[H⁺]. Поэтому при увеличении концентрации ионов водорода в 10 раз показатель pH уменьшается на 1. Здесь важно не перепутать знак минус и направление изменения.

В задачах на охлаждение или распад может встретиться формула A = A₀ × qᵗ. Если нужно найти t и значения не дают удобной степени, применяй логарифм. Основание q должно быть положительным; при q между 0 и 1 функция убывает.

Для ОГЭ и ЕГЭ полезно сначала получить точную модель, а округление делать только в самом конце. Если ответ означает время, проверь, нужен ли полный период: 3,4 часа может означать 3 часа 24 минуты, а не 4 часа.

Типичные ошибки и быстрая проверка

Первая ошибка — принять увеличение на 10% за увеличение в 10 раз. Рост на 10% означает множитель 1,1. Вторая — использовать формулу линейного роста вместо степенного. Если каждый год прибавляют одну и ту же сумму, логарифм не нужен.

Третья ошибка — забыть про начальное значение. Отношение конечного значения к начальному показывает общий множитель: N ÷ N₀. Четвёртая — записать log_N₀ q вместо log_q(N ÷ N₀).

Пятая ошибка — округлить слишком рано. Сохрани несколько знаков после запятой, а затем проверь результат подстановкой. Наконец, оцени ответ: при росте значение времени не может быть отрицательным, а при уменьшении остаток не должен превышать начальный объём.

Полезная мини-проверка: основание? аргумент? единицы? смысл ответа? Если на каждый вопрос есть ясный ответ, решение обычно уже надёжно.

Что запомнить перед самостоятельной практикой

Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить это число?» В текстовой задаче сначала выдели начальное значение N₀, множитель q, конечное значение N и число периодов t.

Главная модель — N = N₀ × qᵗ. Если ищешь число периодов, раздели конечное значение на начальное и возьми логарифм по основанию q: t = log_q(N ÷ N₀). При процентном росте 8% множитель равен 1,08, при снижении на 8% — 0,92.

Не забывай про область допустимых значений, единицы измерения и проверку подстановкой. В экзаменационной работе записывай не только ответ, но и переход от текста к уравнению: именно там видна логика решения.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете и реши 5 заданий по теме. После каждого ответа сверяй не только результат, но и выбранную модель.