ЕГЭ задание 1 (профиль): простейшие уравнения

Задание 1 профиля: где теряют балл даже сильные ученики

Первое задание профильного ЕГЭ по математике выглядит безобидно: уравнение, короткий ответ, знакомая тема из 10 класса. Но именно на нём многие теряют свой балл — из-за спешки, забытого ОДЗ или потерянного корня. Обидно, когда вся остальная работа решена, а балл ушёл на пустом месте. Хорошая новость: задание 1 — это небольшой набор стандартных типов уравнений, и у каждого есть чёткий пошаговый алгоритм.

В этой статье мы разберём все типы, которые встречаются в первой задаче: линейные и квадратные, рациональные и иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Ты увидишь разобранные примеры, таблицу-шпаргалку и типичные ошибки, которые чаще всего стоят баллов. Закрепить навык удобно в личном кабинете: задачи идут с автоматической проверкой, и сразу видно, где именно ты ошибся.

Линейные и квадратные уравнения

Линейное уравнение сводится к виду ax = b. Порядок действий такой: раскрой скобки, избавься от дробей умножением на общий знаменатель, перенеси слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, приведи подобные. Если a ≠ 0, корень один: x = b ÷ a. Если a = 0 и b = 0 — решений бесконечно много; если a = 0, а b ≠ 0 — решений нет. В первой задаче ответ всегда конкретный, поэтому обнуление коэффициента — сигнал перепроверить выкладки.

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант: D = b² − 4ac, x = (−b ± √D) ÷ 2a. При D > 0 корней два, при D = 0 один, при D < 0 корней нет. Если коэффициенты неудобные, выручает теорема Виета: x₁ + x₂ = −b ÷ a, x₁ · x₂ = c ÷ a, но только для приведённого уравнения, где старший коэффициент равен единице.

2x² − 5x + 2 = 0
D = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9
√D = 3
x₁ = (5 + 3) ÷ 4 = 2
x₂ = (5 − 3) ÷ 4 = 0,5

Типичная ошибка: при отрицательном старшем коэффициенте забывают про минус в знаменателе 2a, и оба корня получаются с обратным знаком.

Рациональные и иррациональные уравнения

Рациональное уравнение — это дробь, равная нулю или другой дроби. Алгоритм: найди ОДЗ (знаменатель ≠ 0), умножь обе части на общий знаменатель, реши полученное уравнение и отбрось корни, которые обнуляют знаменатель. Именно последний шаг забывают чаще всего — и в ответ попадает посторонний корень.

Иррациональное уравнение содержит переменную под знаком √. Схема: уедини корень, возведи обе части в квадрат, реши, проверь корни подстановкой. Квадрат — операция неравносильная, она может добавить лишние корни, поэтому проверка обязательна. Ещё полезно сразу помнить: подкоренное выражение ≥ 0, а если √ равен отрицательному числу — решений нет.

√(3x + 1) = 4
3x + 1 = 16
3x = 15
x = 5
Проверка: √(3 · 5 + 1) = √16 = 4 — верно

Если тебе проще начать с базового уровня, посмотри разбор задания 12 ЕГЭ по математике (база) — там те же идеи, но без лишней строгости. Типичная ошибка: возводить в квадрат, не уединив корень, когда правая часть может быть отрицательной.

Показательные и логарифмические уравнения

Показательное уравнение сводят к виду aˣ = aⁿ: основания одинаковые — приравниваем показатели, x = n. Если основания разные, их приводят к общему: 4ˣ = 2²ˣ, 8ˣ = 2³ˣ, (1 ÷ 2)ˣ = 2⁻ˣ. Когда свести не удаётся, работает замена: t = 2ˣ, причём t > 0, дальше получается квадратное уравнение относительно t.

Логарифмическое уравнение log_a f(x) = b означает f(x) = aᵇ при условии f(x) > 0. Если логарифмы с одинаковым основанием стоят слева и справа, приравнивают выражения под ними и проверяют ОДЗ. Держи в голове базовые значения: log₂ 8 = 3, log₃ 81 = 4, lg 100 = 2, lg 0,01 = −2.

log₂ (x − 3) = 4
x − 3 = 2⁴ = 16
x = 19
ОДЗ: 19 − 3 = 16 > 0 — подходит

Больше практики с мгновенной проверкой — в разделе бесплатной практики: удобно решать по 5–10 уравнений подряд и сразу видеть свои слабые места.

Тригонометрия и таблица-шпаргалка

Простейшие тригонометрические уравнения в задании 1 решаются по готовым формулам. Для sin x = a: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn. Для cos x = a: x = ±arccos a + 2πn. Для tg x = a: x = arctg a + πn. Если под знаком функции стоит не x, а, например, πx ÷ 3, то сначала находят саму «внутреннюю часть», а потом делят на её коэффициент.

sin(πx ÷ 3) = 0,5
πx ÷ 3 = π ÷ 6 + 2πn → x = 0,5 + 6n
πx ÷ 3 = 5π ÷ 6 + 2πn → x = 2,5 + 6n

Типичная ошибка: забыть про вторую серию корней у синуса или перепутать период: у тангенса он равен π, а у синуса и косинуса — 2π. А когда тема станет лёгкой, переходи к заданию 16 профиля по математике: геометрия требует такой же аккуратности в выкладках.

Что запомнить

Задание 1 профиля — это проверка не хитрости, а аккуратности. Держи в голове пять опор: приводи уравнение к стандартному виду; помни про ОДЗ там, где есть дробь, корень или логарифм; после возведения в квадрат обязательно проверяй корни; следи за периодами в тригонометрии; подставляй ответ в исходное условие. Эти привычки экономят баллы и время на других задачах.

Полезно выучить наизусть таблицу выше и проговаривать алгоритм вслух, пока он не станет автоматическим. Тогда первая задача перестанет быть «русской рулеткой» и превратится в гарантированный балл, который ты забираешь за две-три минуты.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Автоматическая проверка покажет, где ты ошибся, а разбор подскажет, какой шаг алгоритма стоит повторить.