Вероятность: сложение и умножение вероятностей

1. Что такое вероятность события

Если в задачах на вероятность путаются «или» и «и», решение быстро превращается в угадайку. Разберём тему так, чтобы ты видел логику каждого шага, уверенно выбирал нужную формулу и мог проверить ответ здравым смыслом.

Вероятность события показывает, насколько оно возможно. Для равновероятных исходов используют правило: вероятность события равна отношению числа подходящих исходов к общему числу исходов.

P(A) = число благоприятных исходов ÷ число всех исходов
0 ≤ P(A) ≤ 1

Если событие невозможно, его вероятность равна 0, а если оно обязательно произойдёт — 1. Например, при броске кубика вероятность выпадения чётного числа равна 3 ÷ 6 = ½: подходят числа 2, 4 и 6.

Типичная ошибка — считать количество граней кубика подходящим исходом, не перечислив их. Сначала выпиши все варианты, затем отметь нужные. Для дополнительной тренировки посмотри разбор задания 2 ОГЭ по математике: вероятности часто встречаются именно в практических сюжетах.

2. Сложение вероятностей: союз «или»

Сложение применяют, когда нужно найти вероятность события «произойдёт A или B». Если события несовместимы, то есть не могут произойти одновременно, вероятности просто складывают: P(A или B) = P(A) + P(B).

Например, из коробки наугад достают одну карточку с числом от 1 до 10. Вероятность получить 2 или 7 равна 1⁄10 + 1⁄10 = 2⁄10 = 1⁄5. События несовместимы: одна карточка не может одновременно содержать два разных числа.

P(2 или 7) = 1⁄10 + 1⁄10 = 1⁄5
Ответ: 0,2

Если события могут пересекаться, общую часть нельзя посчитать дважды. Тогда действует формула: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B). Например, число может быть одновременно чётным и кратным 3.

3. Умножение вероятностей: союз «и»

Умножение используют, когда должны выполниться оба условия: произошло событие A и затем событие B. Для независимых событий формула выглядит так: P(A и B) = P(A) · P(B).

Независимые события не влияют друг на друга. Например, результат первого броска монеты не меняет вероятность орла во втором броске.

Если предметы выбирают без возвращения, события зависимы: состав набора меняется. Например, после извлечения красного шара красных шаров становится меньше, а общее число шаров уменьшается на один.

Типичная ошибка — всегда умножать вероятности, увидев два действия. Проверь смысл: «и» обычно ведёт к умножению, «или» — к сложению, но пересечение и зависимость требуют отдельного внимания. В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на похожих задачах.

4. Полностью разобранный пример

В мешке лежат 3 белых и 2 чёрных шара. Наугад достают два шара подряд без возвращения. Найдём вероятность того, что оба шара белые.

Первый шар будет белым с вероятностью 3⁄5. Если белый шар уже вынули, останутся 2 белых и всего 4 шара. Вероятность второго белого при этом равна 2⁄4 = ½. События зависимы, поэтому вероятности перемножаем.

P(первый белый) = 3⁄5
P(второй белый после первого) = 2⁄4 = ½
P(оба белые) = 3⁄5 · ½ = 3⁄10
Ответ: 3⁄10 = 0,3

Можно проверить результат перебором: всего упорядоченных пар 5 · 4 = 20, благоприятных пар 3 · 2 = 6, поэтому 6⁄20 = 3⁄10. Ответ меньше вероятности первого белого, что логично.

Ошибка — оставить вторую вероятность равной 3⁄5. Это означало бы, что первый шар вернули обратно. Всегда уточняй: выбор идёт с возвращением или без него. Если условие сложное, решай его по этапам, не пропуская изменение состава.

5. Типичные ошибки и проверка решения

Первая ошибка — смешать слова «или» и «и». Полезно заменить их вопросом: нужен один из вариантов или должны одновременно выполниться оба? Вторая ошибка — забыть о пересечении событий при сложении.

Третья ошибка — считать зависимые события независимыми. При выборе без возвращения знаменатель и числитель часто меняются. Четвёртая — получить вероятность больше 1 или меньше 0. Это сигнал, что где-то неверно выбраны исходы или действие.

Проверка: 0 ≤ P(A) ≤ 1
Событие A и противоположное ему: P(A) + P(не A) = 1
P(не A) = 1 − P(A)

Например, вероятность дождя равна 0,3. Тогда вероятность сухой погоды равна 1 − 0,3 = 0,7. Такой переход часто сокращает решение, особенно когда проще посчитать противоположное событие.

Для задач экзамена полезно тренировать не только вычисления, но и чтение условия. Разбор задания 10 ЕГЭ по математике поможет увидеть, как аккуратно извлекать нужные данные из текста.

6. Что запомнить

Вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу равновероятных исходов. Перед формулой определи, что требуется: событие «или» обычно связано со сложением, а событие «и» — с умножением.

Для несовместимых событий складывай вероятности. Если события пересекаются, вычти вероятность общего случая. Для независимых событий перемножай вероятности. При выборе без возвращения учитывай, что второй шаг зависит от первого.

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)
P(A и B) = P(A) · P(B) для независимых событий
P(не A) = 1 − P(A)

Перед ответом проверь диапазон от 0 до 1 и соответствие здравому смыслу. Если вероятность «двух успехов» оказалась больше вероятности одного успеха, решение почти наверняка содержит ошибку.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Практика закрепит различия между сложением, умножением и противоположным событием лучше, чем повторное чтение правил.