ЕГЭ задание 13: тригонометрическое уравнение: разбор с решением

Задание 13 ЕГЭ: что проверяют и почему оно стоит двух баллов

Ты открываешь вариант профильного ЕГЭ, доходишь до тринадцатого номера — и замираешь: синусы, косинусы, отбор корней на отрезке, а в голове пусто. Знакомая боль: тему проходили в 10 классе, формулы выветрились, а задание между тем даёт 2 первичных балла и считается одним из самых «выгодных». Этот разбор — пошаговый: рабочая теория, чёткий алгоритм, полное решение с отбором корней и разбор типичных ошибок.

Задание 13 проверяет два умения одновременно. Первое — решить тригонометрическое уравнение: привести его к простейшему виду и выписать серии корней. Второе — отобрать те корни, которые попадают в указанный промежуток. Отсюда и два балла: один за верное решение уравнения, второй за корректный отбор. Потеря второго балла — самая обидная: уравнение решено, а результат не засчитан.

Встречаются три основных вида уравнений. Первый — сводящиеся к квадратному относительно sin x или cos x. Второй — однородные уравнения первой и второй степени. Третий — уравнения, которые решаются разложением на множители. Комбинированные варианты почти всегда сводятся к этим же трём схемам.

Важно понимать: тригонометрия здесь не требует гениальности. Она требует знания небольшого набора формул и аккуратности на каждом шаге. Ниже разберём базу, алгоритм, полный пример и ловушки — так, чтобы после прочтения ты мог решать подобные уравнения самостоятельно.

Минимальная база: формулы, без которых не решить

Начнём с рабочего минимума. Основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1 — это теорема Пифагора, записанная для единичной окружности; геометрический смысл подробно разобран в статье про теорему Пифагора. Из тождества удобно выражать одну функцию через другую — это ключ к уравнениям первого типа.

sin²x + cos²x = 1
sin 2x = 2 sin x · cos x
cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1
tg x = sin x ÷ cos x, где cos x ≠ 0

Второй блок — формулы двойного угла и связь тангенса с синусом и косинусом. Без них не решаются однородные уравнения: там нужно либо поделить обе части на cos²x, либо заметить готовый sin 2x.

Третий блок — частные случаи простейших уравнений. Их выгодно помнить наизусть, чтобы не выводить каждый раз. Если хочется освежить логику «узнай шаблон — примени алгоритм» на более простом материале, посмотри разбор задания 17 базового ЕГЭ.

Алгоритм: пять шагов к правильному ответу

Шаг 1. Приводим уравнение к одной функции или раскладываем на множители. Смотрим, что мешает: разные углы (2x и x), разные функции (sin и cos), квадраты.

Шаг 2. Вводим замену t = sin x или t = cos x и обязательно записываем ограничение |t| ≤ 1. Значения синуса и косинуса всегда лежат в отрезке [−1; 1], а вот tg x и ctg x могут быть любыми.

Шаг 3. Решаем полученное уравнение и сразу отбрасываем корни, не попадающие в ограничение. Этот шаг экономит время на отборе.

Шаг 4. Возвращаемся к исходной переменной и выписываем серии корней простейших уравнений.

Шаг 5. Отбираем корни на промежутке. Есть два способа: перебор целых значений k с проверкой границ или решение двойного неравенства относительно k. Перебор быстрее и надёжнее на экзамене, неравенство аккуратнее при нестандартном промежутке.

Полный разбор: 2cos²x + 5sin x − 4 = 0 на отрезке [−π; 2π]

Уравнение содержит и cos²x, и sin x. Значит, сводим всё к одной функции, используя основное тождество: cos²x = 1 − sin²x.

2(1 − sin²x) + 5sin x − 4 = 0
2 − 2sin²x + 5sin x − 4 = 0
−2sin²x + 5sin x − 2 = 0
2sin²x − 5sin x + 2 = 0

Вводим замену t = sin x с ограничением |t| ≤ 1 и решаем квадратное уравнение через дискриминант.

2t² − 5t + 2 = 0
D = 25 − 16 = 9, √D = 3
t₁ = (5 + 3) ÷ 4 = 2 — не подходит, так как |t| ≤ 1
t₂ = (5 − 3) ÷ 4 = ½ — подходит

Возвращаемся к переменной x и выписываем серии корней. Затем отбираем те, что лежат на отрезке [−π; 2π]: подставляем k = −1, 0, 1 и проверяем границы.

sin x = ½
x = π/6 + 2πk, k ∈ ℤ
x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ
k = 0: x = π/6 ≈ 0,52 — подходит; x = 5π/6 ≈ 2,62 — подходит
k = 1: x = 13π/6 > 2π — не подходит
k = −1: x = −11π/6 < −π — не подходит
Ответ: π/6; 5π/6

Обрати внимание на структуру записи: сначала серии корней, потом отбор, потом ответ. Именно так оформляют решение на экзамене — эксперт видит и логику, и результат. Хочешь проверить себя на похожих уравнениях с автоматической проверкой — попробуй бесплатные задания в личном кабинете.

Типичные ошибки: где теряют заветный балл

Первая и самая частая ошибка — забыть ограничение при замене. Если из квадратного уравнения получились t = 2 и t = ½, решение sin x = 2 не существует, и писать его нельзя. Проверка |t| ≤ 1 — обязательный шаг, а не формальность.

Вторая ошибка — потеря серии корней. Например, при решении sin x = ½ ученик пишет только x = π/6 + 2πk и забывает про x = 5π/6 + 2πk. В ответе не хватает корня — балл за отбор не ставится.

Третья ошибка — неверный отбор. Кто-то подставляет k = 0, 1, 2 и не проверяет границы, а кто-то, наоборот, перебирает слишком мало значений. Полезно заранее прикинуть: длина промежутка делится на 2π, значит, каждая серия даст примерно столько же корней.

Четвёртая ошибка — деление на выражение, которое может быть равно нулю. Делить на cos x или cos²x можно только после проверки, что это выражение не обращается в ноль.

Что запомнить и как закрепить результат

Задание 13 держится на трёх опорах: основное тригонометрическое тождество, формулы двойного угла и частные случаи простейших уравнений. Дальше работает один и тот же алгоритм: привести к одной функции, сделать замену с ограничением, решить, вернуться к x, отобрать корни на промежутке.

Отбор корней — не «дополнительная часть», а полноценный шаг, за который дают балл. Перебирай целые k, проверяй границы, при сомнениях рисуй окружность и отмечай точки.

И самое важное: тригонометрию нельзя выучить чтением. Только решение руками, с проверкой каждого перехода, превращает теорию в навык. Начни с простых уравнений, потом переходи к однородным и комбинированным.

Следующий шаг — закрепить материал на практике: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Разбор ошибок покажет, какие шаги у тебя ещё «провисают», и что подтянуть в первую очередь.