Просто УрокЗадание 17 ЕГЭ по математике (база): как решать
Задание 17 базового ЕГЭ по математике — планиметрия, чаще всего про вписанные и описанные окружности. Хорошая новость: решается оно не чертежом «на удачу», а двумя-тремя фактами из теории. Разберём, где лежит центр окружности, какие формулы радиусов стоит держать в голове и как не перепутать вписанную с описанной под давлением экзамена.
Что проверяет задание 17
В №17 базового ЕГЭ проверяют геометрию: окружности, вписанные в треугольники и четырёхугольники, или окружности, описанные вокруг них. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, калькулятор запрещён, поэтому типичная задача решается в одно-два действия. Время от времени сверяйся с актуальной демоверсией на сайте ФИПИ: формулировки и порядок заданий могут уточняться.
Главный навык здесь — не чертёж «на удачу», а два факта, названные вслух: где находится центр окружности и какая формула радиуса подходит к этой конфигурации. Формул немного, зато каждая привязана к своей картинке. Вплотную пригодятся темы про треугольники и площади фигур: без площади не обойтись в формуле радиуса вписанной окружности.
Вписанная окружность
Вписанная окружность лежит внутри фигуры и касается всех её сторон. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр — точка пересечения биссектрис: он одинаково удалён от всех трёх сторон.
r = Sp, где p — полупериметр
Полупериметр — это периметр, делённый пополам. Пример: периметр треугольника равен 24, площадь — 24. Найди радиус вписанной окружности.
- Полупериметр: 24 / 2 = 12.
- Радиус: r = 24 / 12 = 2.
- Ответ: 2.
Прикидка: радиус вписанной окружности всегда меньше половины меньшей высоты треугольника, так что 2 для такой задачи выглядит правдоподобно.
Описанная окружность
Описанная окружность проходит через все вершины треугольника. Вокруг любого треугольника её можно описать, и тоже только одну. Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам: он одинаково удалён от всех трёх вершин.
\( R = ab\dfrac{c}{4}S \)
Пример: стороны треугольника равны 3, 4 и 5, площадь — 6. Найди радиус описанной окружности.
- Перемножаем стороны: 3 · 4 · 5 = 60.
- Делим на четыре площади: 60 / (4 · 6) = 2,5.
- Ответ: 2,5.
Обрати внимание: центр описанной окружности не обязан лежать внутри треугольника. У остроугольного он внутри, у прямоугольного — на гипотенузе, у тупоугольного — снаружи. На ответ это не влияет, но с такой картинкой в голове меньше шансов запутаться.
Первым предложением решения назови тип окружности: вписанная — касается сторон, описанная — проходит через вершины. От этого мгновенно зависят и центр, и формула. Половина ошибок в №17 случается именно на этом шаге.
Прямоугольный треугольник и вписанный угол
Самая частая конфигурация №17 — прямоугольный треугольник. У него центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а сама гипотенуза — её диаметр.
R = c2, где c — гипотенуза
Пример: катеты равны 6 и 8, гипотенуза 10. Радиус описанной окружности — 10 / 2 = 5. Никаких формул площади не понадобилось.
Второй факт — про вписанный угол. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Если дуга равна 100°, вписанный угол равен 50°. Эти два предложения закрывают добрую половину вопросов про окружности на экзамене.
вписанный угол = ½ дуги, на которую он опирается
Четырёхугольники: условия вписанности
С четырёхугольниками работает условие, которого не было у треугольников: окружность можно вписать не во всякий.
AB + CD = BC + AD — условие вписанной окружности
Пример: в четырёхугольник вписана окружность, три его стороны равны 4, 9 и 7, причём 4 и 7 — противоположные. Тогда четвёртая сторона равна 4 + 7 − 9 = 2.
∠A + ∠C = 180° — условие описанной окружности
Описанная вокруг четырёхугольника окружность существует, только если суммы противоположных углов равны 180°. Отсюда памятные пары: вокруг параллелограмма окружность можно описать, только если это прямоугольник; вписать — только если это ромб; трапеция с вписанной окружностью всегда равнобедренная.
Держи в голове пары-якоря: прямоугольник — описанная, ромб — вписанная, равнобедренная трапеция — описанная. Эти три пары отвечают на большинство вопросов о четырёхугольниках в №17.
Типичные ошибки
Проверь себя по списку — эти промахи стоят баллов чаще всего.
- Перепутал вписанную и описанную — применил формулу не к той окружности.
- Посчитал радиус через периметр вместо полупериметра: в формуле r = S/p стоит именно p.
- Подставил диаметр вместо радиуса или наоборот.
- Решил, что окружность можно вписать в любой четырёхугольник, — без проверки сумм сторон.
- Не сверил ответ с прикидкой: радиус не может быть больше стороны треугольника.
Потренируй окружности из базового ЕГЭ
В тренажёре ЕГЭ выбери нужный номер, получи короткую подсказку и серию задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Окружности — не отдельный остров: они опираются на тему окружность и касательные, а радиус вписанной окружности не обходится без площадей. Повтори эти темы — и №17 станет приятным, продуманным баллом.
И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к ЕГЭ — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Чем вписанная окружность отличается от описанной?
Вписанная лежит внутри фигуры и касается всех её сторон; описанная проходит через все вершины снаружи. Запоминалка: вписанная — «внутри и касается», описанная — «вокруг и через вершины».
Где центр описанной окружности у прямоугольного треугольника?
В середине гипотенузы. Гипотенуза — диаметр описанной окружности, поэтому радиус равен половине гипотенузы: катеты 6 и 8 при гипотенузе 10 дают R = 5.
Нужно ли учить формулы радиусов?
Да, хотя бы две: r = S/p для вписанной и R = c/2 для прямоугольного треугольника. Они снимают большинство задач №17 в одно действие. Часть формул есть в справочных материалах, но искать их на экзамене — лишняя трата времени.
В любой ли четырёхугольник можно вписать окружность?
Нет. Нужно, чтобы суммы противоположных сторон были равны: AB + CD = BC + AD. А описать окружность вокруг четырёхугольника можно, только если суммы противоположных углов равны 180°.