Производная сложной функции

Что такое производная сложной функции

Производная сложной функции часто кажется набором непонятных правил: внутри одна формула, снаружи другая, а ошибиться можно уже на первом шаге. Разберём тему спокойно: ты научишься видеть «функцию внутри функции», выбирать правильный порядок действий и проверять ответ.

Сложная функция получается, когда одна функция подставлена в другую. Например, в выражении y = (3x² + 1)⁵ внешняя функция — возведение в пятую степень, а внутренняя — 3x² + 1. Удобно обозначать внутреннюю часть буквой u.

y = u⁵, где u = 3x² + 1
y′ = 5u⁴ · u′
u′ = 6x
y′ = 30x(3x² + 1)⁴

Главная идея: сначала берём производную внешней функции, не раскрывая скобки, затем умножаем её на производную внутренней. Это называют правилом цепочки.

Типичная ошибка — записать только 5(3x² + 1)⁴ и забыть множитель 6x. Для дополнительной тренировки по базовым преобразованиям можно заглянуть в разбор задания 4 ОГЭ.

Правило цепочки по шагам

Правило цепочки работает для степеней, корней, синусов, косинусов, логарифмов и других функций. Общая схема выглядит так: если y = f(u), а u = g(x), то производная равна f′(u) · g′(x). Внешняя функция дифференцируется первой.

Разберём пример с корнем. Корень можно представить как степень ½, но на практике достаточно помнить: производная √u равна u′ ÷ (2√u).

y = √(4x³ − 2x + 5)
u = 4x³ − 2x + 5
u′ = 12x² − 2
y′ = (12x² − 2) ÷ (2√(4x³ − 2x + 5))

Алгоритм такой: выдели u, найди u′, возьми производную внешнего выражения по u, умножь результаты и только потом упростить ответ. Необязательно раскрывать корень или скобки.

Частая ошибка — применять формулу производной корня к x, хотя под корнем стоит целое выражение. В справочнике по степеням и корням полезно повторить основные свойства степеней и корней.

Если хочется сразу проверить несколько похожих шагов, используй бесплатную практику в личном кабинете: после решения легче заметить, где именно потерялся множитель.

Производные основных сложных функций

Сначала полезно уверенно знать таблицу простых производных. В сложной функции вместо x появляется выражение u, а рядом обязательно возникает множитель u′. Это и есть практическое содержание правила цепочки.

Например, для y = sin(5x²) внутренняя функция равна 5x², поэтому y′ = cos(5x²) · 10x.

y = cos(2x³ + 1)
u = 2x³ + 1
y′ = −sin(2x³ + 1) · 6x²

Обрати внимание: знак минус появляется из производной косинуса, а 6x² — из производной внутренней функции. Ошибка — написать −sin(2x³ + 1), забыв 6x².

Не смешивай правило цепочки с правилом произведения: там функции перемножаются, а здесь одна находится внутри другой.

Разобранный пример полностью

Рассмотрим функцию, где одновременно встречаются квадрат и сложное выражение. Важно не пытаться дифференцировать всё сразу: сначала выделим внутренний слой, затем внешний.

y = (2x² − 3x + 4)³
u = 2x² − 3x + 4
u′ = 4x − 3
y′ = 3u² · u′
y′ = 3(2x² − 3x + 4)² · (4x − 3)

На первом шаге мы нашли производную внешней функции u³. На втором — производную внутреннего многочлена. На третьем перемножили результаты и вернули вместо u исходную скобку. Раскрывать квадрат необязательно: компактная форма обычно удобнее для подстановки и проверки.

Проверим ответ мысленно: если бы внутренняя функция была просто x, получилось бы 3u². Дополнительный множитель 4x − 3 как раз отражает изменение внутреннего выражения.

Ещё одна типичная ошибка — заменить 4x − 3 на 4x. Производная −3 равна −3, поэтому свободный член исчезает, но линейный член остаётся.

Как находить значение производной

После получения общей формулы часто требуется найти производную в конкретной точке. Сначала дифференцируй выражение, затем подставляй значение x. Подстановка раньше времени иногда усложняет вычисления и скрывает ошибку.

Пусть y = (x² + 2x)⁴. Найдём значение производной при x = 1.

y′ = 4(x² + 2x)³ · (2x + 2)
y′(1) = 4(1 + 2)³ · (2 + 2)
y′(1) = 4 · 27 · 4 = 432

Число 432 показывает скорость изменения функции в точке с координатой x = 1. Геометрически это угловой коэффициент касательной к графику. Если значение положительное, функция в этой точке возрастает.

Типичная ошибка — подставить 1 только во внешнюю часть и забыть вычислить производную внутренней функции 2x + 2. Другая ошибка — перепутать значение функции со значением её производной.

Для самостоятельной проверки решения удобно открыть личный кабинет с бесплатными заданиями и сравнить не только итог, но и промежуточные шаги.

Если ответ выглядит слишком простым, вернись к схеме: внешняя производная, внутренняя производная, произведение, подстановка.

Что запомнить

Сложная функция — это функция внутри другой функции. Чтобы найти её производную, обозначь внутреннее выражение буквой u, продифференцируй внешнюю часть по u, затем умножь результат на u′.

y = f(g(x))
y′ = f′(g(x)) · g′(x)
степень: (uⁿ)′ = n · uⁿ⁻¹ · u′

Перед ответом проверь три вещи: не потерян ли множитель внутренней функции, правильно ли выбран знак у синуса или косинуса, не перепутаны ли произведение и вложенность.

Небольшой пример для самопроверки:

y = sin(3x + 1)
y′ = cos(3x + 1) · 3

Здесь внешняя функция — синус, внутренняя — 3x + 1. Производная внутреннего выражения равна 3.

Главная ошибка — механически применять таблицу к x, не замечая скобки. Сначала найди слои формулы, а потом действуй по алгоритму.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так правило цепочки перейдёт из теории в уверенный навык.