Системы уравнений и неравенств: повторение

1. Что называют системой

Системы уравнений и неравенств часто пугают не сложностью, а количеством шагов: нужно преобразовать сразу несколько условий и не потерять ограничения. В этом повторении ты выстроишь понятный алгоритм, научишься выбирать удобный способ решения и проверять ответ. Это полезно и для школьной контрольной, и для подготовки к заданиям экзамена.

Система объединяет два или несколько выражений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы называют такие значения переменных, которые подходят каждому условию. Для двух линейных уравнений удобно представить каждое как прямую: точка пересечения и будет решением.

x + y = 7
2x − y = 5
Складываем: 3x = 12 → x = 4
y = 7 − 4 = 3
Ответ: (4; 3)

Если прямые параллельны, решений нет; если совпадают, решений бесконечно много. Типичная ошибка — решить только одно уравнение и принять найденную пару без проверки второго. Подставь значения в обе строки системы.

2. Линейные системы: три способа

Для линейной системы применяют подстановку, сложение и графический способ. Подстановка удобна, когда одна переменная уже выражена. При сложении сначала умножают строки на подходящие числа, чтобы одна переменная сократилась. График помогает понять количество решений, но в точных вычислениях обычно медленнее.

3x + 2y = 12
x − 2y = 0
Складываем уравнения: 4x = 12
x = 3, затем y = 1
Ответ: (3; 1)

В этом примере коэффициенты при y противоположны, поэтому сложение сразу упрощает задачу. Если знаки одинаковы, одну строку можно вычесть из другой. После нахождения первой переменной обязательно вычисли вторую из исходной, а не из промежуточной записи.

Типичная ошибка при умножении уравнения — изменить коэффициент только у одного слагаемого. Умножать нужно всю левую и правую части.

Для дополнительной тренировки базовых преобразований можно посмотреть разбор задания 10 ЕГЭ, а затем закрепить навык в личном кабинете с бесплатной практикой.

3. Полный разбор системы

Разберём систему, где перед подстановкой удобно избавиться от дробей. Главное правило: любое преобразование должно сохранять равносильность. Умножение уравнения на ненулевое число безопасно, а деление на выражение с переменной требует проверки: оно не должно обращаться в ноль.

x ÷ 2 + y = 5
x − y = 2
Умножим первое уравнение на 2: x + 2y = 10
Из второго: x = y + 2
Подставим: y + 2 + 2y = 10
3y = 8 → y = 8 ÷ 3
x = 8 ÷ 3 + 2 = 14 ÷ 3
Ответ: (14 ÷ 3; 8 ÷ 3)

Проверка: 14 ÷ 3 ÷ 2 + 8 ÷ 3 = 7 ÷ 3 + 8 ÷ 3 = 5, а 14 ÷ 3 − 8 ÷ 3 = 2. Значит, пара подходит обоим уравнениям.

Типичная ошибка — потерять скобки при подстановке выражения вроде 2 − 3y. Записывай его в скобках, пока не раскроешь их внимательно. Если ответ выглядит необычно, проверка особенно важна.

Попробуй после разбора решить похожие примеры в бесплатной практике: там удобно возвращаться к ошибочным шагам и повторять тему небольшими сериями.

4. Системы неравенств

В системе неравенств нужно найти общую часть решений. Сначала реши каждое неравенство отдельно на числовой прямой, затем пересеките полученные промежутки. При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный. Это правило относится к каждому неравенству отдельно.

2x − 6 ≥ 0 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3
−x + 4 > 0 → −x > −4 → x < 4
Общая часть: 3 ≤ x < 4

Точка 3 входит в ответ, потому что используется знак ≥. Точка 4 не входит, потому что знак строгий. На рисунке закрашенная точка означает включение границы, пустая — исключение. Для объединения берут все значения из обоих промежутков, для системы — только пересечение.

Типичная ошибка — оставить знак прежним после деления на −1. Ещё одна проблема — перепутать союзы: слово «и» означает пересечение, а «или» — объединение. Записывай ответ интервалом и, если возможно, делай короткую проверку числом внутри него.

5. Квадратные системы и ограничения

В системах с квадратами часто используют замену. Если встречается x² и выражение x + y, обозначь новую переменную или вырази одну неизвестную через другую. До решения выпиши ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно. После возведения в квадрат обязательно нужна проверка.

x + y = 5
x² + y² = 13
y = 5 − x
x² + (5 − x)² = 13
2x² − 10x + 12 = 0
x² − 5x + 6 = 0 → x = 2 или x = 3
Ответы: (2; 3), (3; 2)

Здесь оба найденных значения подходят, потому что система симметрична относительно x и y. Дискриминант можно считать как D = b² − 4ac, если квадратное уравнение приведено к виду ax² + bx + c = 0. При замене не забывай вернуть найденную переменную.

Типичная ошибка — записать только одну пару, хотя квадратное уравнение имеет два корня. Другая — принять посторонний корень после преобразования без подстановки в исходную систему. Проверка занимает меньше времени, чем исправление решения.

Связь алгебры с задачами на движение и площади полезно повторить в этом материале: там хорошо видно, как условия переводятся в уравнения.

6. Что запомнить

Система требует общего решения для всех условий. Для линейных уравнений выбирай подстановку или сложение; для неравенств строй промежутки и находи их пересечение; для квадратных систем используй замену, но контролируй ограничения и проверяй корни. Любое найденное значение должно пройти проверку в исходной записи.

Алгоритм: прочитать условия → выписать ограничения → выбрать способ
решить систему → проверить каждую пару или границу → записать ответ

Мини-пример: если x ≥ 1 и x < 5, ответ 1 ≤ x < 5. Если условия несовместимы, решений нет. Типичная ошибка — оставить ответ в черновой форме, не указав область допустимых значений или формат интервала.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так ты увидишь, на каком этапе чаще ошибаешься, и сможешь точечно повторить правило в личном кабинете.