Задание 10 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что проверяет задание 10

Задание 10 базового ЕГЭ проверяет умение находить вероятность простого события. Формат устойчивый: описан случайный опыт — бросок монеты, кубик, выбор билета или карточки — и нужно найти вероятность некоторого исхода. Никаких сложных комбинаций, деревьев и формул умножения здесь нет: всё сводится к одной классической формуле и аккуратному подсчёту.

Ответ записывается дробью — обыкновенной или десятичной. Обе формы принимаются: 7/8 и 0,875 — это один и тот же правильный ответ. Главное — не забыть сократить обыкновенную дробь, если это возможно.

Классическая формула вероятности

Вероятность события — это доля исходов, которые нас устраивают, среди всех возможных. Формула выглядит так:

\( P = \dfrac{m}{n} \)

Здесь m — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных исходов. «Равновозможных» — ключевое слово: у монеты орел и решка выпадают с одинаковыми шансами, у честного кубика любая грань имеет равные шансы. Поэтому вероятность — это просто отношение двух чисел.

Вероятность всегда лежит в промежутке от 0 до 1: 0 означает, что событие невозможно, 1 — что оно произойдёт наверняка. Если в ответе получилось число больше единицы или отрицательное, значит, где-то ошибка в подсчёте исходов.

Благоприятные и все исходы

Вся работа в задании 10 — это два коротких подсчёта. Сначала перечисли все возможные исходы и посчитай их — это n. Затем выдели те, которые подходят под условие, — это m. Осталось разделить.

Первый шаг — выписать исходы, не полагаясь на память. Для кубика это шесть граней, для монеты — две стороны, для колоды — число карт, указанное в условии. Второй шаг — пройтись по условию и пометить подходящие исходы, лучше всего выписывая их в строчку. Так ошибка «потерял один исход» исчезает сама собой. Деление всегда идёт в одном направлении: подходящие исходы — на все. Если числа большие, сначала сократи дробь, а потом, при желании, переведи её в десятичную.

Примеры по шагам

Пример 1. Бросают монету. Найди вероятность выпадения орла.

1. Все исходы: орёл и решка, значит n = 2.
2. Благоприятный исход один — орёл, значит m = 1.
3. Вероятность: P = 1/2.
4. Ответ: 0,5.

Пример 2. Бросают игральный кубик. Найди вероятность того, что выпадет число больше 4.

1. Все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, значит n = 6.
2. Больше четырёх — это 5 и 6, значит m = 2.
3. Вероятность: P = 2/6 = 1/3.
4. Ответ: 1/3.

Пример 3. Ученик выучил 35 билетов из 40. Найди вероятность того, что на экзамене ему достанется выученный билет.

1. Все исходы: 40 билетов, n = 40.
2. Благоприятные: 35 выученных, m = 35.
3. Вероятность: P = 35/40 = 7/8.
4. Ответ: 0,875.

Противоположное событие

Иногда проще посчитать не само событие, а его противоположность. Сумма вероятностей события и его противоположности равна единице, поэтому:

P(не A) = 1 − P(A)

В примере с билетами вероятность вытянуть невыученный билет можно найти двумя способами. Прямо: невыученных билетов 40 − 35 = 5, значит P = 5/40 = 1/8. Или через противоположное событие: 1 − 7/8 = 1/8. Оба пути дают один ответ, и второй часто короче.

Формула противоположного события особенно полезна, когда условие звучит «хотя бы один», «не менее» или «больше». Но в базовом ЕГЭ такие формулировки редки — чаще всего хватает прямого подсчёта.

Типичные ошибки

Первая ошибка — перепутать числитель и знаменатель. Если ответ получился больше единицы, ты поделил все исходы на благоприятные, а не наоборот: в знаменателе всегда большее число, общее. Вторая — забыть сократить дробь: 2/6 и 1/3 — это одно и то же, но записывать лучше сокращённую форму. Третья — потерять один из исходов при перечислении, особенно когда условие длинное, а числа удобные: 35 выученных из 40 — тут легко «потерять» один билет. И четвёртая — вычислить вероятность не того события, о котором спрашивают: перечитай вопрос и сверь, про орла или решку, «больше четырёх» или «меньше четырёх» идёт речь.

Задание 10 опирается на материал, который обычно проходят в 6–9 классах. Если нужно освежить саму идею вероятности, загляни в подробный разбор теории вероятностей — там всё объяснено с самых основ. Похожие задачи встречаются и в других экзаменах: посмотри задание 10 ОГЭ по математике и профильную версию — задание 10 ЕГЭ по математике (профиль). Это поможет увидеть тему с разных сторон.

Одна формула, два числа и аккуратный подсчёт исходов — этого достаточно, чтобы задание 10 стало гарантированным баллом. А если нужна помощь, рядом всегда есть Просто Урок — с теорией, тренажёром и спокойными объяснениями по шагам.